Критерий достоверности разности

При том большом значении, которое имеет для исследователей получение достоверных разностей, появляется необходимость овладеть методами, позволяющими определить – достоверна ли полученная, реально существующая выборочная разность или, при всей ее материальной действительности, она не достоверна в описанном правильном понимании.

Достоверность выборочной разности измеряется особым показателем, который можно назвать критерием достоверности разности.

Критерий достоверности разности равен отношению выборочной разности к ее ошибке репрезентативности и определяется по формуле:

(10.20)

В этой формуле – разность выборочных средних,
– ошибка выборочной разности, s₁, s₂ – ошибки репрезентативности сравниваемых выборочных показателей, t_st – стандартное значение критерия, определяемое по таблице критериев Стьюдента, для заданного порога вероятности безошибочных прогнозов (0,95, 0,99, 0,999), в зависимости от числа степеней свободы, n₁, n₂ – численности сравниваемых выборок, – число степеней свободы для разности двух средних.

При использовании критерия достоверности разности возможны два основных случая:

1 t_d ≥ t_st – полученный в исследовании критерий достоверности разности равен или превышает стандартное значение критерия, найденное по Стьюденту. В этом случае разность достоверна с определенной надежностью, т. е. соответствует по знаку генеральной разности.

2 t_d < t_st – полученный в исследовании критерий достоверности разности меньше стандартного значения для минимального или требуемого порога вероятности. В этом случае разность недостоверна, что значит:

- по выборочной разности нельзя сделать никакой оценки генеральной разности;

- осталось невыясненным, какая из двух генеральных средних больше;

- осталось недоказанным как наличие, так и отсутствие различия между генеральными средними.

За минимальный порог достоверности в подавляющем большинстве исследований принимается первый порог, соответствующий вероятности безошибочных прогнозов b_i = 0,95.

Техника определения достоверности разности показана на следующих примерах.

Пример

Сравнивался вес взрослых индеек двух пород после одинакового откорма по двум выборкам. Получены следующие сводные показатели:

n₁ = 20, μ₁±s₁ = 4,0 ± 0,3 кг;

n₂ = 25, μ₂±s₂ = 4,6 ± 0,4 кг.

Вторая порода в выборке показала больший вес:

d_2-1 = μ₂–μ₁ = 4,6–4,0 = + 0,6.

Определение достоверности этой разности проведено следующим образом:

d = 0.6;

; n = 20 + 25 – 2 = 43; t_st = {2,0 – 2,7 – 3,5}.

Выводы

- Полученные результаты (d_2-1 = + 0,6) свидетельствуют, что в некоторых группах вторая порода может оказаться в среднем тяжелее первой.

- Так как полученная разность оказалась недостоверной, то ничего нельзя заключить о всех представителях обеих пород; осталось невыясненным, какая порода (вся) может иметь больший средний вес; нельзя считать доказанным, что разницы в среднем весе между породами нет и что эти породы в среднем одинаковы по весу.

Пример

Предыдущее исследование было повторено на более обширном материале. Получены новые сводные показатели:

n₁ = 100, μ₁±s₁ = 4,1 ± 0,1 кг;

n₂ = 100, μ₂±s₂ = 4,7 ± 0,1 кг;

d_2-1 = μ₂ – μ₁ = 4,7 – 4,1 = + 0,6 кг.

Определение достоверности разности дало следующие результаты:

d = 0,6;

; n = 100 + 100 – 2 = 198;

t_st= {2,0 – 2,6 – 3,4}.

Выводы

- Полученная разность оказалась достоверна с высшей надежностью (р > 0,999); можно с уверенностью заключить, что вся вторая порода, а не только ее изученная часть, в среднем имеет больший вес взрослых индеек.

- Если нужен прогноз среднего превышения второй породы над первой, например для того, чтобы запланировать экономическим эффект от перемены породы, то это можно сделать обычным методом доверительных границ:

D = t_st×s_d = 2,0×0,14 = 0,28 » 0,3;

= +0,6±0,3 – [не более +0,6+0,3 = 0,9 кг;

не менее +0,6–0,3 = 0,3 кг;

Гарантированный минимум превосходства второй породы:
= +0,3 в среднем на голову.

В последнем примере та же по величине разность (0,6), что и в предыдущем, оказалась достоверной вследствие увеличения численности изученных выборок, так как уменьшились ошибки средних.

Так бывает не всегда. Может случиться, что с увеличением численности выборок уменьшается выборочная разность и вследствие этого достоверность ее не повышается; разность остается недостоверной и при большем объеме выборок.

В таких случаях при 2 – 3 повторениях исследования с увеличением численности выборок недостоверная разность уже может считаться доказательством того, что между сравниваемыми генеральными совокупностями не обнаружено различия по изучаемому признаку.

Пример

Изучалось число ядрышек в ядрах соматических клеток серебряного карася у однополых (1) и двуполых (2) особей. Получены следующие сводные показатели:

число исследованных клеток: n₁ = 1602, n₂ = 1601;

среднее число ядрышек на одну клетку:

μ₁ ± s₁ = 3.9 ± 0,03; μ₂ ± s₂ = 2,3 ± 0,02;

разность: d_1-2 = 3,9 – 2,3 = +1,6;

Ошибка разности: ;

Критерий достоверности:

.

Разность оказалась в высшей степени достоверной: однополые и двуполые серебряные караси различаются по числу ядрышек на одно ядро в соматических клетках. У однополых число ядрышек в ядрах явно больше.