МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ АДАМСА

В отличие от одношаговых методов Рунге-Кутта, эти методы позволяют найти решение с использованием известных решений в нескольких соседних точках.

Итак, предположим, что с помощью какого-либо метода уже получена таблица значений:

x₀, x₁, x₂, …, x_n;

y₀, y₁, y₂, …, y_n .

Пусть шаг постоянен, т.е. x_n – x_n–1 = h.

Найдем значение в точке x_n+1. Проинтегрируем исходное уравнение (6.1):

и аппроксимируем подынтегральную функцию одного переменного f(x,y(x)) интерполяционным многочленом, который в узлах x_n, x_n–1, x_n–2,… принимает соответствующие значения f(x_n,y(x_n)), f(x_n–1,y(x_n–1)), и т.д., например, интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад N_n(x).

Для x = x_n + ht

где

Здесь – конечная разность k-го порядка .

Таким образом, получаем экстраполяционную формулу Адамса в разностном виде:

y_n+1=y_n+h(f_n + D¹f_n–1 + D²f_n–2 + D³f_n–3 +

+ D⁴f_n–4 + D⁵f_n–5 + …)+ ,

где

. (6.10)

Получим конкретные формулы Адамса в ординатном виде.

1. Ограничимся одним слагаемым в сумме (k=0):

y_n+1 = y_n + hf_n. (6.11)

Получили формулу Эйлера. Формула первого порядка. Локальная погрешность .

2. Ограничимся двумя слагаемыми в сумме (k=1):

y_n+1 = y_n + hf_n + D¹f_n–1 = y_n + hf_n + (f_n – f_n–1) =

= y_n + (3f_n – f_n–1). (6.12)

Формула второго порядка. Локальная погрешность .

3. Ограничимся тремя слагаемыми в сумме (k=2):

y_n+1 = y_n + h(f_n + D¹f_n–1 + D²f_n–2) = y_n + h[f_n + (f_n – f_n–1) +

+ (f_n – 2f_n–1+ f_n–2)] = y_n + (23f_n – 16f_n–1+ 5f_n–2) (6.13)

Формула третьего порядка. Локальная погрешность

И так далее.

Указанные формулы называются явными формулами Адамса. Для того чтобы ими пользоваться, необходимо предварительно узнать недостающие начальные значения.

Например, в формуле Адамса третьего порядка (6.13) для n=2

y₃ = y₂ + (23f₂ – 16f₁+ 5f₀),

необходимо знать (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂). Эти недостающие начальные значения могут быть найдены с помощью одношаговых методов, например методом Рунге-Кутта соответствующей точности.

Это можно отнести к недостаткам методов Адамса. В чем же их преимущество, например, по сравнению с методом Рунге-Кутта?

Возьмем, например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка. На каждом шаге требуется четыре раза вычислить значение правой части. В методе же Адамса четвертого порядка:

y_n+1 = y_n + (55f_n – 59f_n–1+ 37f_n–2 –9f_n–3), (6.14)

с требуется только одно вычисление правой части на каждом шаге, а именно f_n. Другие значения найдены на предыдущих шагах.

Отметим, что этот способ не единственный для построения многошаговых формул.

Например, если представить исходное уравнение в виде

и также заменить подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Ньютона, то получается формула вида

или, после интегрирования,

,

называемая экстраполяционной формулой Нистрёма [11].

Частные случаи:

y_n+2=y_n+2hf_n+1(второй порядок точности);

y_n+3=y_n+1+ h(7f_n+2 – 2 f_n+1 + f_n) (третий порядок точности).

Или, например, так:

Интегрируя и оставляя 3 слагаемых в правой части, получим формулу Милна 4-го порядка: