Методы синтеза цифровых фильтров

При построении фильтров помех в измерительных каналах ИВС и других систем медицинского назначения требования к ним можно свести к следующим:

-фильтры должны обеспечивать фильтрацию помех до уровня допустимой статической погрешности измерительного канала;

-искажение амплитуды полезного сигнала, вносимое фильтром в диапазоне рабочих частот, не должно превышать величины допустимой динамической погрешности измерительного канала;

-запаздывание полезного сигнала, вносимое фильтром, должно быть минимальным или учтено при последующей обработке.

В ряде случаев фильтры используемые в измерительных каналах могут быть сведены к многозвенным активным фильтрам, достаточно просто реализуемым на усилителях постоянного тока или в алгоритмах цифровой обработки с передаточной функцией вида

(5.19)

где τ и n – постоянная времени и порядок многозвенного фильтра. При этом задача обеспечения помехоустойчивости измерительного канала сводится к определению величины τ и n фильтра в зависимости от его динамических характеристик, амплитуды и частотного спектра полезного сигнала и действующих помех.

Аналитические выражения, определяющие изложенные требования к каналу фильтрации, можно представить в виде [11]:

, (5.20)

где α_x – отношение допустимой погрешности Δ_x, вносимой помехами полезный сигнал х, к максимальному уровню помехи в сигнале; А₁– минимально допустимое значение амплитудно-частотной характеристики фильтра (или коэффициент ослабления полезного сигнала) при максимальной рабочей частоте ω = ω_x_мах, ω_п – частота помехи.

При известных характеристиках полезного сигнала, помехи и заданных требованиях А₁ и α_х из системы (5.18) можно определить постоянную времени τ и порядок n многозвенного аналогового фильтра, который далее реализуется аппаратно или в устройстве цифровой обработки сигнала.

При проектировании цифровых фильтров или алгоритмов цифровой фильтрации используют приемы синтеза, которые существенным образом базируются на свойствах аналоговых цепей, служащих модельными прототипами цифровых фильтров и алгоритмов обработки.

При использовании метода инвариантных импульсных характеристик [17] вносится предположение о том, что синтезируемый цифровой фильтр должен обладать импульсной дискретной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа. В этом случае, задаваясь интервалом дискретизации Δ, по импульсной характеристике h(t) аналогового фильтра-прототипа определяются отсчетные значения h₀, h₁,…, h_m импульсной дискретной характеристики цифрового фильтра, по которой строят алгоритм функционирования и определяют другие характеристики фильтра - системную функцию H(z) и частотный коэффициент передачи k(jωΔ) (АЧХ и ФЧХ). Степень приближения характеристик синтезированного цифрового фильтра к характеристикам аналогового фильтра-прототипа зависят от выбора интервала дискретизации Δ. По результатам сравнения АЧХ и ФЧХ фильтров уточняются структура и параметры цифрового фильтра, например, путем уменьшения шага дискретизации импульсной характеристики и уменьшения порядка цифрового фильтра.

К выбору структуры и параметров цифрового фильтра, приближенно соответствующего свойствам аналогового фильтра-прототипа, можно подойти, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, которое описывает аналог. При этом в отчетных точках t=nΔ производные в дифференциальном уравнении заменяют их конечными разностными выражениями вида

(5.21)

Подставляя в дифференциальное уравнение аналогового фильтра-прототипа значения производных, выраженных через разностные выражения, получают разностные уравнения, описывающие алгоритм функционирования соответствующего цифрового фильтра. Применяя к полученному разностному уравнению Z-преобразование, получают системную функцию и частотный коэффициент передачи, определяющие структуру, параметры и характерные свойства цифрового фильтра.

При задании характеристик аналогового фильтра-прототипа в виде передаточной функции W_ф(p) системную функцию H(z) соответствующего ему цифрового фильтра можно определить путем замены оператора Лапласа s на (1–z^-1)/Δ.

При использовании метода идентификации частотных характеристик структуру и параметры цифрового фильтра определяют с помощью так называемого "билинейного преобразования", которое устанавливает связь между оператором Лапласа s передаточной функции W_ф(p) аналогового фильтра-прототипа и оператором z соответствующим системной функции H(z) цифрового фильтра вида

. (5.22)

Полученная при такой замене системная функция H(z) цифрового фильтра оказывается дробно рациональной и позволяет непосредственно получить алгоритм цифровой фильтрации.

При использовании "билинейного преобразования" связь между частотной характеристикой W_ф(jω) аналогового фильтра и частотным коэффициентом передачи k(jωΔ) цифрового фильтра вытекает из соотношения между частотной переменной ω_а аналоговой цепи и частотой ω_ц цифровой системы вида

. (5.23)

Следовательно, если имеются частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) аналогового фильтра, то для получения соответствующей частотной характеристики цифрового фильтра необходимо лишь произвести изменения масштаба частоты в соответствии с выражением (5.23).

Необходимо отметить, что при "билинейном преобразовании" импульсная дискретная характеристика цифрового фильтра не будет соответствовать импульсной характеристике аналогового фильтра-прототипа.

Рассмотрим пример построения цифрового фильтра для устройства цепи, аналогично RC-цепи. Импульсная характеристика RC-цепи имеет вид:

Для перехода к дискретному сигналу заменим t = kΔ и учтем, что размерность h(t) равна [1/c], а импульсная характеристика цифрового фильтра должна быть безразмерной. Поэтому опустим множитель 1/τ и тогда импульсная характеристика цифрового фильтра будет иметь вид:

Такая импульсная характеристика содержит бесконечно много членов, но их величина убывает по экспоненциальному закону и можно ограничиться N членами, выбирая N таким, чтобы