ТЕОРЕМА О ГОМОМОРфизМЕ КОЛЕЦ

Пусть К=(К,+,×,1) и К¢=(К¢,+,×,1¢) - кольца, ¦ - гомоморфизм кольца к в кольцо к¢. Обозначим Ker¦={xÎK½¦(x)=0¢}, где 0¢ - нуль кольца К¢. Ker¦ называется ядром гомоморфизма ¦. Покажем, что Ker¦ является, идеалом кольца К. Действительно, Ker¦¹Æ, так как 0Î Ker¦. Для любых а,bÎ Ker¦ имеем ¦(а-b)= ¦(а)-¦(b)=0¢-0¢=0¢, то есть Ker¦ замкнуто в K относительно вычитания. Для любого aÎKer¦ и любого kÎК имеем: ¦(ka)=k¦(a)=k0¢=0¢, то есть kaÎKer¦. аналогично убеждаемся, что akÎ Ker¦. Таким образом, доказано, что Ker¦ есть идеал кольца К. Покажем, что для любых а, b из К равенство ¦(а)=¦(b) выполняется тогда и только тогда, когда = .

Пусть ¦(а)=¦(b), тогда ¦(а-b)= ¦(а)-¦(b)=0¢, так как ¦ - гомоморфизм. Поэтому, а-bÎ Ker¦, откуда = . Теперь допустим, что = . Тогда а-bÎ Ker¦, откуда ¦(а-b)=0¢, так как Ker¦ - ядро. Отсюда получаем: ¦(а)-¦(b)=0¢ и ¦(а)=¦(b).

Теорема. Пусть ¦ - эпиморфизм кольца к на кольцо к¢ с ядром J. Тогда фактор-кольцо к/J изоморфно кольцу к¢.

Доказательство. Пусть K=К/J и K/J=(K/J,+,×, ), где =l+J. Обозначим через j отображение K/J в К¢, определенное следующим образом: j( )=¦(а) для каждого элемента из K/J. В силу предыдущих рассуждений значение j( ) не зависит от выбора представителя а в смежном классе . Далее, отображение j сохраняет главные операции кольца к/J. В самом деле, j( )==1_к', и для любых , из К/J имеем: j( + )=j( )=¦(a+b)= ¦(a)+¦(b) =j( )+j( ); j(- )=j( )=¦(-a)=-¦(a)=-j( ); j( × )=j( ) =¦(a×b)=¦(a)צ(b)= j( )×j( )

По условию, ¦ отображает К на К¢. Отсюда следует, что j есть отображение множества К на множество К¢. Отображение j инъективно. В самом деле, из равенства j( )=j( ) следует ¦(a)=¦(b), откуда = . Следовательно, j является изоморфизмом фактор-кольца к/J на кольцо к¢.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ

Рассмотрим еще одну алгебраическую структуру и дадим ей несколько эквивалентных определений.

Определение. Пусть (Р,+,×) - кольцо, действие умножения в Р обладает свойством коммутативности и для всяких а,bÎР, а¹0 существует такой xÎР, что а×x=b. Тогда (Р,+,×) называется полем.

Определение. Пусть (Р,+,×) – коммутативное кольцо с единицей и для всякого аÎР, а¹0 существует такой а^-1 ÎР, что а×а^-1=1. Тогда (Р,+,×) называется полем.

Определение. Алгебру Р=(Р,+,´) будем называть полем, если для элементов множества Р выполняются следующие аксиомы:

А0 (аксиома замкнутости по сложению) "a,bÎР$!cÎР(c=a+b);

А1 (аксиома ассоциативности сложения) "a,b,cÎР(a+(b+c)=(a+b)+c);

А1’ (аксиома коммутативности сложения) "a,bÎР(a+b=b+a);

А2 (аксиома обратимости сложения);

1° $0ÎР"aÎР(a+0=a);

2° "aÎР$-aÎР(a+(-a)=0);

М0 (аксиома замкнутости по умножению) "a,bÎР$!cÎР(c=ab);

М1 (аксиома ассоциативности умножения) "a,b,cÎР(a(bc)=(ab)c);

М1’ (аксиома коммутативности умножения) "a,bÎР(ab=ba);

М2 (аксиома обратимости умножения);

1° $еÎР"aÎР(aе=a);

2° "aÎР$a^-1ÎР(aa^-1=е);

Д (аксиома дистрибутивности) "a,b,cÎР(a(b+c)=ab+ac ).

Примеры

1. Множество Q является полем

2. Множество Â всех действительных чисел является полем.

Пусть Q = {a+b ½a,bÎQ, р - простое число}. Докажем, что Q - поле.

Определение. Подмножество Р’ поля Р называется подполем поля Р, если относительно операций, определенных в поле Р, множество Р’ само образует поле.

Теорема. Для того, чтобы подмножество Р’ поля Р было подполем поля Р, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) "a,bÎP’(a+bÎP’);

2) "a,bÎP’(a-bÎP’);

3) "a,bÎP’(abÎP’);

4) "a,bÎP’(ab^-1ÎP’).

Доказать самостоятельно.

Примеры

1. Множество Q является полем, так как сумма, разность, произведение и частное (если делитель отличен от нуля) двух рациональных чисел является рациональным числом.

2. Множество Â всех действительных чисел является полем.

4. Пусть Q = {a+b ½a,bÎQ, р -простое число}. Докажем, что Q - поле. Пусть a+b , c+d Î Q , тогда

,

но и числа рациональные, так как множество рациональных чисел является полем. Таким образом, Q является полем.

Упражнения

1. Доказать, что множество ненулевых элементов поля образует группу относительно умножения.

2. В множестве А={а₁, а₂} заданы действия сложения и умножении таблицами:

является ли А кольцом, полем?

3. Доказать, что если Р=(Р,+,×) - поле, то в кольце многочленов P[х] каждый идеал является главным.

4. Доказать, что в любом кольце А имеется нуль, то есть элемент 0 такой, что для всякого аÎА имеет место а+0=а, и для него а×0=0.

5. Кольцо классов вычетов по модулю m является полем тогда и только тогда, когда m - простое число. Доказать.