Построение эквипотенциальных и силовых линий электростатического поля

Пространство, в котором находится электрический заряд, обладает определенными физическими свойствами. Так на всякий другой заряд, внесенный в это пространство, действуют электростатические силы Кулона. Если в пространстве действуют какие-либо силы, то говорят, что в нем существует силовое поле.

Для количественного описания электрического поля вводится ряд специальных физических величин. Такой величиной является напряженность электрического поля - силовая характеристика поля.

Напряженностью в любой точке электрического поля называется вектор , численно равный силе, с которой это поле действует на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку, и направленный в сторону действия силы, то есть:

(1)

Напряженность электрического поля точечного заряда определяется по формуле:

, (2)

где , - электрическая постоянная.

Если электрическое поле создается не в вакууме, а в веществе, то напряженность поля уменьшается в ε раз. Величина ε называется диэлектрической проницаемостью вещества. Она показывает во сколько раз напряженность электрического поля в вакууме (Е₀) больше, чем напряженность электрического поля в среде (Е):

. (3)

Если напряженность поля одинакова во всех точках поля, то такое поле называется однородным. Если же величина напряженности поля меняется от точки к точке, то оно называется неоднородным.

Наглядный геометрический образ поля можно получить с помощью так называемых силовых линий.

Силовой линией электрического поля называется такая линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с вектором напряженности поля в этой точке. Силовым линиям приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности .

Свойства силовых линий:

1. Силовые линии являются незамкнутыми линиями.

2. Силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах (либо уходят в бесконечность).

3. Силовые линии не пересекаются.

4. Силовые линии тем гуще, чем больше напряженность электрического поля.

Напряженности электрических полей точечного заряда, диполя, заряженной пластинки и плоскости зависят от свойств среды. Поэтому для характеристики электрического поля целесообразно ввести такую величину, которая не зависела бы от диэлектрической проницаемости среды. Этому условию удовлетворяет величина:

(4)

Физическая величина D называется электрическим смещением, или индукцией электрического поля.

Рассмотрим сначала однородное электрическое поле у которого во всех точках значение вектора одинаково.

Выделим на плоскости MN участок площадью S. Тогда поток вектора электрического смещения, или просто поток смещения N_D (поток электрической индукции) сквозь плоскую поверхность S по определению равен:

(5)

где D_n – проекция вектора на направление нормали к плоской поверхности dS (рис.1)

Для потока вектора электрического смещения выполняется теорема Остроградского-Гаусса:

Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью

N_D = Sq_i (6)

На свободный заряд q, находящийся в электрическом поле, действует сила F = qЕ, приводящая его в движение. Работа dА, совершаемая силой F, при перемещении заряда q на отрезок dl равна

(7)

где α - угол между направлениями векторов и .

В случае конечного перемещения заряда из точки "1" в точку "2" работа сил поля равна:

(8)

Пусть поле создано точечным зарядом q>О Тогда dl cosα = dr напряженность поля точечного заряда и работа совершаемая при перемещении заряда q₀, будет равна:

(9)

то есть работа, совершаемая при перемещении заряда q_o в поле точечного заряда q, не зависит от формулы пути, а только от конечного и начального положений заряда q₀.

Если заряд перемещается вдоль замкнутого контура L, т.е. его конечное положение совпадает с начальным, то перемещение заряда будет равно нулю, а значит и работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю.

=0.

Тогда следует, что .

Данный интеграл называется циркуляцией вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура.

Силовое поле, напряженность которого удовлетворяет условию называется потенциальным. Поэтому работа А равна убыли потенциальной энергии W этого заряда, взятой с обратным знаком:

(10)

Отношение обозначается φ и называется потенциалом данной точки электростатического поля.

Тогда, потенциал точки поля, созданным точечным положительным зарядом q, на расстоянии r равен:

(11)

Работу, совершаемую силами электростатического поля, по перемещению заряда q₀ из точки А в точку В можно записать как

A = W_A – W_B = q₀ φ_А - q₀ φ_В = q₀ (φ_А – φ_В) (12)

где φ_А – φ_В - соответственно потенциалы точек А и В.

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Так как, потенциал постоянен лишь вдоль кривых, перпендикулярных к силовым линиям поля, то и эквипотенциальные поверхности должны быть везде перпендикулярными к силовым линиям.

Электростатическое поле можно изобразить графически не только при помощи силовых линий, но и при помощи эквипотенциальных поверхностей (рис.2). Вокруг каждой системы зарядов можно провести бесконечное множество эквипотенциальных поверхностей.

Определим, как связаны между собой напряженность и потенциал электростатического поля. Рассмотрим перемещение заряда q_o с одной эквипотенциальной поверхности на другую.

Из формул (7) и (12) следует, что

dА = - q_o · dφ

где dl×cosα = dr следовательно

, (13)

где dφ – разность потенциалов между двумя близлежащими точками, dr – расстояние между этими точками.

Знак «-» показывает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала.