ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
В практике исследовательских работ часто встречаются ситуации, когда необходимо найти наиболее достоверное значение величины и оценить его возможные отклонения от истинного значения на основании измерений, проводимых разными наблюдателями с применением разнообразных измерительных средств и методов измерений в различных лабораториях или условиях внешней среды.
Ряды получающихся при этом результатов наблюдений называются неравно рассеянными, если оценки их дисперсий значительно отличаются друг от друга, а средние арифметические являются оценками одного и того же значения измеряемой величины.
Если средние неравно рассеянных рядов наблюдений мало отличаются друг от друга, то говорят о высокой воспроизводимости измерений, которая количественно характеризуется параметрами рассеивания результатов.
Рассмотрим некоторые случаи, приводящие к необходимости обработки результатов неравно рассеянных измерений:
1. Если при точных измерениях необходимо убедиться в отсутствии не исключённых систематических погрешностей, то измерения проводятся несколькими исследователями или группами исследователей. Если средние арифметические полученных рядов наблюдений незначительно отличаются друг от друга и ничто не указывает на наличие систематических погрешностей, то заманчиво объединить все полученные результаты и на основе их математической обработки получить более достоверные сведения об измеряемой величине.
2. Аналогичные измерения были выполнены в разных лабораториях различными методами и получены отличающиеся друг от друга результаты. Естественно и в этом случае, используя все имеющиеся данные, попытаться получить более достоверные значения измеряемых величин.
3. Измерения, относящиеся к образцовым мерам и измерительным приборам, часто повторяются через некоторое время. В конце концов, накапливаются ряды наблюдений и возникает необходимость объединить их. Точность рядов наблюдений различна, с одной стороны, из-за того, что для впервые проводимых измерений характерно большее рассеивание результатов, а с другой стороны, из-за того, что с течением времени средства измерения стареют или заменяются новыми.
Во всех описанных ситуациях приходится прибегать к методам обработки результатов неравно рассеянных рядов наблюдений, задача которых в общем случае заключается в нахождении наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценки воспроизводимости измерений.
Основой для расчета служат следующие данные:
- - средние арифметические m рядов равно рассеянных результатов наблюдений постоянной физической величины Q;
- – среднеквадратические отклонения (или их оценки) результатов наблюдений в отдельных рядах;
- – числа наблюдений в каждом ряду;
- m – число рядов.
Если результаты наблюдений во всех рядах распределены нормально, то нормально распределены и все m средних арифметических (j=1, 2,…, m) с дисперсиями :
,
Q - истинное значение измеряемой величины (при условии, что систематические погрешности исключены).
Для практической обработки результатов неравно рассеянных рядов наблюдений необходимо ввести параметр вес отдельных средних арифметических: .
Веса характеризуют степень нашего доверия к соответствующим рядам наблюдений. Чем больше число наблюдений в каждом данном ряду и чем меньше дисперсия результатов наблюдений, тем больше степень доверия к полученному при этом среднему арифметическому и с тем большим весом оно будет учтено при определении оценки истинного значения измеряемой величины:
. (4.1)
Иногда удобно пользоваться безразмерными весовыми коэффициентами:
, (4.2)
тогда выражение для среднего взвешенного приобретает простой вид:
. (4.3)
В соответствии со свойствами оценок максимального правдоподобия дисперсия среднего взвешенного должна равняться единице, деленной на математическое ожидание второй производной от логарифмической функции правдоподобия:
. (4.4)
Отсюда следует, что дисперсия среднего взвешенного меньше дисперсии любого из исходных средних арифметических отдельных рядов наблюдений и поэтому при обработке неравно рассеянных рядов наблюдений точность измерений повышается.
Если теоретические дисперсии неизвестны, то пользуются их оценками , с помощью которых определяют веса или весовые коэффициенты.
При малом числе нормально распределенных результатов наблюдений пользуются распределением Стьюдента с числом степеней свободы:
. (4.5)
Если же об исходных распределениях нет никаких заслуживающих внимания данных, то на основании центральной предельной теоремы можно все-таки предполагать, что распределение среднего взвешенного нормально, поскольку оно является суммой большого числа случайных величин с конечными дисперсиями и математическими ожиданиями.
Задача № 4.1
Тремя коллективами экспериментаторов с помощью различных методов измерения были получены следующие значения ускорения свободного падения (со среднеквадратическими отклонениями результатов измерений):
Весовые коэффициенты отдельных результатов вычислим по формуле (4.2):
Среднее взвешенное в соответствии с уравнением (4.3) составляет:
и его дисперсия по формуле (4.4):
;
.
Литература:
1. Иванников Д.А., Фомичев Е.Н. Основы метрологии и организации метрологического контроля: учебн. пособие. - Нижегородский государственный технический университет, 2001. 326 с.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 434;