Вывод эмиссионного уравнения. (Вывод уравнения вольт-амперной характеристики прямого тока для полупроводникового диода в зависимости от температуры. )

Рассмотрим задачу о нахождении вольт-амперной характеристики полупроводникового диода. Эмпирическое уравнение, полученное при исследовании диода, имеет вид:

(3.3.1.,01)

Далее, используя составные термоэлектрические потенциалы (СТЭ - потенциалы), приводим уравнение к виду:

(3.3.1.,09)

где

∆F₂ , ∆F₁ - составные термоэлектрические потенциалы.

Теперь, при помощи представленной теории, выведем уравнение для вольт-амперной характеристики полупроводникового диода.

Полупроводниковый диод представляет собой термопару, в которой электроны при прямом токе совершают переход из зоны N в зону P. Такой переход сопровождается выделением энергии, а обратный переход невозможен, так, как требует для электронов дополнительной энергии.

Условия следующие: Через две различные зоны полупроводников протекает ток I_A. Изменим единицу измерения тока. Так, как существует квант электрического заряда – электрон, то единицу измерения тока можно сделать штучной: штука в секунду. Для этого ток в Амперах следует делить на заряд электрона, выраженный в Кулонах.

(3.3.2.,01)

e = 1,6∙10^-19 Кл - заряд электрона.

На переходе из N в P существуют составные термоэлектрические потенциалы.

В лабораторной установке происходит термоэлектрический процесс, в котором есть приложенные составные термоэлектрические потенциалы, и есть протекающий ток, величина которого в цепи постоянная.

Tc – температура окружающей среды.

U_A – напряжение приложенное к PN-переходу.

Составные термоэлектрические потенциалы образуются из следующих приложенных температур и напряжений:

T₂₁ - выходная температура зоны N. T₂₁ = Tc

T₂₀ - входная температура зоны N . T₂₀ = 0.

T₁₁ - выходная температура зоны P. T₁₁ = Тс

T₁₀ - входная температура зоны P . T₁₀ = T_F.

U₂₁ - выходное напряжение зоны N. U₂₁ = U_D

U₂₀ - входное напряжение зоны N . U₂₀ = 0.

U₁₁ - выходное напряжение зоны P. U₁₁ = U_A

U₁₀ - входное напряжение зоны P . U₁₀ = U_B,

где T_F, U_D, U_B – параметры из эмпирической модели.

Отсюда можно найти все разности потенциалов (напряжений):

∆T₂ = T₂₁ - T₂₀

∆T₁ = T₁₁ - T₁₀

∆ U₂ = U₂₁ - U₂₀

∆ U₁ = U₁₁ - U₁₀

∆T₁ - входная разность температур.

∆T₂ - выходная разность температур.

∆U₁ - входная разность напряжений.

∆U₂ - выходная разность напряжений.

Через переход протекает ток I_A.

∆I_A = I_A

Здесь потенциал тока рассматривается относительно вакуума.

Рассмотрим электрический ток при переходе из среды в среду (см. рис. 3.11.). Такой переход создаёт условия для возникновения флуктуационного тока. При переходе из среды в среду на участках тока создаётся разность составных термоэлектрических потенциалов:

∆F₁ = ∆T₁ ∙ ∆ U₁ .

∆F₂ = ∆T₂ ∙ ∆U₂ .

∆F_Σ = ∆F₂ - ∆F₁

Рис. 3.11. Схема исследования PN-перехода с приложенными составными термоэлектрическими потенциалами.

Можно вычислить перенос полного флуктуационного тока электрическим током – это полный флуктуационный ток в данном процессе:

(3.3.2.,02)

Выражение (3.3.2.,02) показывает, что Ia является проводимостью для флуктуационного тока G_Σ . Соотношение (3.3.2.,02) выведено на основании закона (3.2.3.,07).

И в то же время, полный флуктуационный ток можно вычислить, принимая во внимание, тот факт, что каждая частица тока способна переносить некоторую долю флуктуационного тока, характеризуемого как удельную энергию теплообмена, приходящийся на единицу заряда.

Обозначим удельную энергию теплообмена анодного тока на единицу электрического заряда: ∆F_Ед. Флуктуационный ток единичной части электрического тока, вычисленный через удельную энергию теплообмена, на единицу электрического заряда, имеет вид:

(3.3.2.,03)

Полный флуктационный ток можно вычислить из единичных токов, если просуммировать все флуктационные токи, на единицу электрического заряда, приходящиеся на единичные электрические токи. Флуктуационный ток G_Σ в данном случае, представляет собой интеграл от выражения G_Ед, взятый по электрическому току.

Пусть ток достигает величины I_A. Электрический ток можно измерять в различных единицах. Переведём единицы измерения тока в «штуки в секунду». Переведём ток I_A:

(3.3.2.,04)

Переведём ток одного электрона в секунду:

(3.3.2.,05)

где:

e = 1,6·10^-19 Кл - заряд электрона.

Потому нижний предел интегрирования будет иметь вид единичного тока:

I₁ = I_Ne = 1 шт./сек.

Верхний предел интегрирования будет иметь значение I₂ = I_NIa.

∆F_Ед = ∆T₃ ∙ ∆U₃- удельная энергия теплообмена на единицу электрического заряда при протекании единичного тока.

Также ∆F_Ед имеет физический смысл некоторого СТЭ - потенциала, постоянного в данном процессе. Если полный ток равен N штук в секунду, то

(3.3.2.,06)

Из выражения (3.3.2.,06) можно найти суммарный флуктуационный ток, методом интегрирования.

(3.3.2.,07)

Выражение I_NIa / I_Ne можно снова перевести в Амперы:

(3.3.2.,08)

Теперь мы имеем два выражения для G_Σ. Приравняем (3.3.2.,02) и (3.3.2.,07)

(3.3.2.,09)

(3.3.2.,10)

Так, как флуктуационный ток в своём составе имеет частицы с электрическим зарядом, то совместно с флуктуационным током возникает электрический ток. На единичный электрический ток всегда приходиться некоторая доля флуктуационного тока, равная G_ЕД ,

где G_ЕД - это некоторый параметр, определяющий флуктуационный ток переносимый единичным электрическим током в условиях флуктуационного тока. Иначе можно записать:

(3.3.2.,11)

Далее из (3.3.2.,09) можно вывести:

(3.3.2.,12)

или:

(3.3.2.,13)

или:

(3.3.2.,14)

или:

(3.3.2.,15)

где ∆F_Ед – некоторый составной термоэлектрический потенциал, постоянный в данном процессе. Отсюда следует:

(3.3.2.,16),

далее:

(3.3.2.,17)

Если принять:

(3.3.2.,18),

то, получим:

(3.3.2.,19)

Выражение (3.3.2.,19) совпадает с выражением (3.3.1.,09). Мы сделали вывод уравнения для вольт-амперной характеристики полупроводникового диода, которое не противоречит эксперименту.