Основные уравнения и законы

Закон Ома в дифференциальной форме

- закон Ома в интегральной форме.

Выделим в проводящей среде небольшой объем (трубку), где .

- по определению плотности тока

Приравняем правые части уравнений:

- дифференциальная форма (случай если точка находится в проводящей среде).

Закон Ома в дифференциальной форме устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой точке. Уравнение справедливо для областей вне источников ЭДС, у которых удельная проводимость постоянна по всему объему.

В областях, занятых источниками ЭДС, кроме электростатического поля существует стороннее поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в электрической сети. Сторонние источники э.д.с. – устройства, преобразующие энергию (механическую или другой тип энергии) в электроэнергию.

Под действием сторонней э.д.с. в источнике происходит постоянное разделение электрических зарядов. Положительные к «+» полюсу, отрицательные - к «-» полюсу, эти заряды внутри и вне источника создают эклектическое поле, напряженность которого направлена от положительных зарядов к отрицательным. Внутри источника поле сосредоточенных зарядов (кулоново поле) направленно навстречу стороннему.

Если точка находится внутри источника, то полное значение напряженности поля:

тогда

Это уравнение называют обобщенным законом Ома в дифференциальной форме или вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме

Сумма тока, входящего в объем. равна сумме токов, из него выходящих.

- в интегральной форме,

тогда из первого закона Кирхгофа

Разделим правую и левую части на объем V:

Устремим объем к нулю:

Первое уравнение Кирхгофа в дифференциальной форме – это уравнение непрерывности линий плотности тока. Оно означает, что в установившемся режиме в любой точке поля нет ни стока, ни истока линий плотности тока, линии плотности замкнуты сами на себя (окружности, эллипсы).

Дифференциальная форма закона Джоуля- Ленца

В проводнике выделяется энергия

Определим энергию, выделяющуюся в единице объема в единицу времени в проводящем теле:

- мощность тепловых потерь

- дифференциальная форма закона Джоуля - Ленца

Уравнение Лапласа для электрического поля постоянного тока

Это выражение справедливо и для электрического поля постоянного тока

- уравнение Лапласа.

Граничные условия

При рассмотрении поля с различными проводимостями используют два граничных условия:

Рассмотрим первое граничное условие

Выделим плоский замкнутый контур 1234 на границе раздела двух сред и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Составляющими интеграла вдоль сторон 12 и 34 в силу их малости пренебрежем.