Фурье-преобразование непериодической функции.
Непериодическая функция не может быть представлена в ряде Фурье, однако она допускает анализ-Фурье с использованием интеграла Фурье. Также непериодическая функция допускает разложение по Фурье – т. е. с представлением в виде с синусоидальным преобразованием; но это разложение проводиться в виде интеграла.
Для одномерной непериодической функции интеграл Фурье будет иметь следующий вид:
; причем выражение может быть записано в виде функции ; т. е.: . И тогда наше выражениеи можно записать как .
Для четной функции мы можем представить выражение более просто:
Или в упрощенной форме:
Фурье-преобразование для непериодической функции уже не имеет дискретного спектра. Этот спектр уже имеет сплошную функцию типа:
Функция также представляется суммой синусоидальных составляющих, бесконечно близких по частоте и их спектральная плотность амплитуд – это амплитуда, отнесенная к единице полосы пространственных частот.
Рассмотрим пример преобразования непериодической функции. В качестве преобразования Фурье возьмем П-образный сигнал.
Отсюда берем интеграл:
Вид этой функции будет иметь вид:
Эта функция будет иметь название SINC.
Для дельта-функции спектр будет равен единице при любой частоте.
Функция передачи модуляции системы.
Возьмем объект, имеющий синусоидальное распределение интенсивности; то есть, синусоиду (в случае, когда как на картинке – косинусоида):
Модуляция - это отношение:
Или по такой формуле:
Подставляя это все в формулу модуляции, получаем:
Отсюда имеем:
А теперь рассмотрим нашу решетку в системе светорассеяния; то есть в системе функции размытия линии.
Возьмем интеграл свертки:
И подставляем в него выражение .
Получаем: .
А используя выражение , получаем:
.
Принимаем интеграл функции размытия линии за единицу и получаем:
Отсюда
Исходя из геометрии:
имеем:
или
отсюда выражение переходит в
.
Было
Стало .
1.Функция осталась синусоидальной; осталась постоянная и та же частота. Изменилось амплитуда решетки, и появился угол , который называется углом фазового сдвига.
Итак, у нас изменяется амплитуда и появляется угол фазового сдвига . Поэтому у функции , представляющей собой синусоидальную решетку уменьшается амплитуда и появляется сдвиг; но только в том случае, если .
Совокупность характеристик и называются частотной характеристикой системы, т. е. характеристикой системы по ее размытию, выраженной в частотном пространстве. При этом – это Фурье-преобразование функции размытия линии. Если функция размытия является симметричной – у нее отсутствует фазовый сдвиг; то она называется амплитудной частотной характеристикой.
Фазово-частотная характеристика – это зависимость угла сдвига фазы называется от пространственной частоты.
Если увеличивается пространственная частота, то амплитудно-частотная характеристика уменьшается, а фазовая частотная характеристика – наоборот – возрастает.
Если система имеет симметричную зону размытия, то есть, четная функция, то фазово-частотная характеристика отсутствует, а остается амплитудно-частотная модуляция.
Функция передачи модуляции характеризует систему с точки зрения размытия узких пучков и является эквивалентной функции размытия линии или краевой функции; прямо с ними связана путем Фурье-преобразования. Т. е. ФПМ есть косинус Фурье-преобразование функции размытия линии. Отличие только в том, что
Переведена в частотное пространство.
Сама функция передачи модуляции – это зависимость передачи коэффициента передачи модуляции от пространственной частоты.
Т. е.
Функция передачи модуляции является фильтром пространственных частот, так как низкие частоты она пропускает, а высокие частоты – нет.
При низкой пространственной частоте амплитуда сигнала существенно не изменяется, но при ее увеличении амплитуда уменьшается, приближаясь к нулю(равномерное распределение освещенности), то есть, решетка исчезает.
Неудобство ФРТ и ФРЛ состоит в том, что их трудно измерить. Другое неудобство состоит в том, что нужно каждый раз решать интеграл свертки.
Дата добавления: 2016-07-22; просмотров: 1560;