Упругая система станка

С точки зрения динамики реальная упругая система станка ‑ это сложная колебательная система с распределенными инерционными и уп­ругими параметрами, имеющая большое число степеней свободы и соответственно большое множество собственных частот колебаний. Характеристики УС определяются следующими основными парамет­рами: массами и моментами инерции узлов и деталей; жесткостью уп­ругих элементов; силами неупругого сопротивления (демпфирования); связями между перемещениями масс в системе со многими степенями свободы.

Массы и моменты инерции узлов и деталей станка определяются как расчетом (по чертежам), так и экспериментально. Методы их оп­ределения приведены в соответствующей справочной литературе.

Жесткости различных конструктивных элементов определяются из­вестными методами механики. Жесткость стыка зависит от величины предварительного натяга в соединении и дейс­твующих нагрузок, поэтому ее следует рассматривать в рабочем и от­носительно узком диапазоне нагружения стыка. Методы определения жесткости конструктив­ных элементов и стыков металлорежущих станков приведены в специ­альной литературе.

Силы неупругого сопротивления или силы демпфирования в эле­ментах станка определяются рассеиванием энергии в деформируемом материале и трением в стыках деталей.

В многомассовых колебательных системах перемещения отдельных масс связаны друг с другом. Связи могут быть статическими (упруги­ми), скоростными и инерционными. Статические связи вызывают дефор­мацию элемента системы по координатам. Скоростные связи создают зависимые перемещения уз­ла по координатам. Инерционная связь полу­чается при действии сил инерции в направлении жесткости системы.

При расчете динамических характеристик реальную УС станка заменяют расчетной схемой, т.е. системой с конечным числом степеней свободы. Расчетная схема должна быть, с одной стороны, эквивалентна реальной системе станка с достаточной для практики точностью, с другой – максимально проста и сведена к минимальному количеству сосредоточенных масс.

Расчетная схема упругой системыстанка представляется в виде некоторого коли­чества сосредоточенных масс, соединенных упругими и диссипативными (рассеивающими энергию колебаний) элементами, обыч­но с линейными характеристиками. Такое представление системы стан­ка основано на том, что большинство корпусных деталей - тяжелые и относительно жесткие тела, а деформации сосредоточены в основном в стыках. Разумеется, там, где нельзя пренебречь распределенностью параметров, например, при расчете шпиндельного узла, это учитывают в виде упругих элементов (стержней, пластин и т.д.) с сосредоточенными инерционными параметрами.

Разработку расчетной схемы УС можно проводить на основе чер­тежей станка или экспериментальных данных, полученных для базового варианта станка, что позволяет при разработке расчетной схемы сделать ряд обоснованных упрощений и существенно сократить в дальнейшем объем расчетных работ.

В качестве примера рассмотрим построение расчетной схемы УС вертикально-сверлильного станка (рис. 3) по связи с процессом резания.

Рис. 3. Пример компоновки (а) и расчетной схемы (б) станка.

Предварительные эксперименты по определению форм колебаний УС показали слабую взаимосвязь колебаний станка по различным коорди­натным осям и дают основание рассматривать его упругую систему как плоскую, состоящую из двух ветвей: шпиндель – шпиндельная бабка – стойка – основание и стол – основание. Собственные деформации корпусных деталей существенно ниже деформации стыков, поэтому их можно рассматривать как абсолютно жесткие тела.

Массивы представляются в виде сосредоточенных масс m_i и мо­ментов инерции J_i, жесткость площадок контакта определяет линейную С_i и изгибную (угловую) K_i жесткость стыка. Диссипативные связи, определяющие демпфирование колебаний УС, представлены как линейные h_i или изгибные (угловые) g_i в зависимости от формы колебаний.

Таким образом, в данном примере расчетная схема УС вертикально-сверлильного станка содержит пять сосредоточенных масс и моментов инерции, соединенных упругими и диссипативными связями. Нас интересуют колебания в направ­лении оси Y, т.е. в направлении изменения толщины срезаемого слоя.

На основании расчетной схемы составляется динамическая (математическая) модель компоновки. Модель может быть получена известными из теоретической механики методами, например, с использованием принципа Д’Аламбера, и представляет собой систему дифференциальных уравнений:

где – линейные и угловые деформации элементов компоновки; – массы и моменты инерции узлов; – линейные и угловые диссипативные связи (демпфирование); – линейные и угловые жесткости стыков; – плечи действия сил на элементы компоновки относительно стыков "шпиндельная бабка – стойка" и "стол – стойка"; – внешняя сила, действующая на станок.

Полученная математическая модель может быть решена известными в математике способами или с использованием методики теории автоматического управления, в частности, методы с использованием частотных характеристик и переходных процессов.

Частотные характеристики упругой системы. Для определения частотных характеристик системы следует сделать с уравнениями преобразование Лапласа и, сгруппировав коэффициенты относительно переменных, получим систему уравнений в операторной форме записи:

Деформация УС в зоне резания определяется алгебраической разностью деформаций шпиндельного узла и стола с обрабатываемой деталью :

,

которые можно определить, используя теорему Крамера. С этой целью уравнения записываются в полном виде и в каждом содержатся все переменные в одинаковой последовательности, при этом некоторые переменные, которые не входили в систему математической модели, будут иметь коэффициент равный 0.

Интересующие нас определители формируются следующим образом. Главный определитель формируется из коэффициентов левых частей полной системы уравнений, частные определители и по координатам и составляются из главного заменой коэффициентов в главном определителе на свободные члены уравнений (правая часть уравнений).

Перемещения и определяются отношением соответствующих определителей

и

Вычислив определители известным способом, можно получить передаточную функцию УС:

Приравняв в этом выражении оператор =0, получим выражение статической характеристики (податливости) упругой системы .

Частотные характеристики УС определяются из передаточной функции W_yс(р) заменой оператора р на комплексную переменную jω. Выделив известными методами в полученном выражении вещественную и мнимую части, получим комплексную частотную характеристику

При необходимости можно получить математические выражения для амплитудной A_ус(ω) и фазовой φ_ус(ω) частотных характеристик,:

Используя эти характеристики можно построить АФЧХ упругой системы.

На рис. 4 показаны примеры АЧХ и АФЧХ упругой системы станка в рабочем диапазоне частот, т.е. в частотном диапазоне действующих на УС нагрузок.

Рис. 4. Амплитудная и комплексная частотные характеристики УС станка

Отрезки, расположенные на оси ординат АЧХ и на положительной ветви вещественной оси АФЧХ для частоты ω = 0, соответствуют значению статической характеристики K_ус, представляющей собой суммарную податливость упругой системы станка. Значение статической характеристики можно получить из выражения передаточной функции УС, приравняв к нулю комплексную переменную р=0:

Частотные характеристики УС полезны для определения собствен­ных частот колебаний станка и управления спектром частот при отс­тройке системы от резонансных явлений. Однако основное, для чего необходимы частотные характеристики УС, это определение устойчивости работы станка на том или ином режиме т.е. в процессе резания, позиционирования рабочего органа и т.д.

Определение рациональных путей улучшения характеристик упругой системы возможно лишь при рассмотрении ее в совокупности с рабочими процессами станка.

Процесс резания

Процесс резания представляет собой элемент динамической сис­темы станка, входным параметром которого является относительное смещение инструмента и заготовки, а выходным – сила резания, дейс­твующая на УС. Существенное влияние на изменение силы резания оказывают изменения сечения срезаемого слоя и геометрии резания, что наблюдается при смещении инструмента и заготовки по оси Y. Кроме того, деформация УС в этом направлении приводит к снижению точности обработки (нап­ример, относительное смещение резца и заготовки по оси Y приводит к изменению диаметра обрабатываемой поверхности на токарном стан­ке). Эти обстоятельства обуславливают определение характеристик элемента ПР по связи с деформацией УС в направлении оси Y.

Силу резания Р можно выразить известной в теории резания за­висимостью

где σ₀ – коэффициент, учитывающий механические свойства обрабаты­ваемого материала, МПа; а и b – толщина и ширина срезаемого слоя соответственно, мм; ξ – коэффициент усадки стружки. Коэффициент σ₀ зависит от временного сопротивления обрабатываемого материала σ_в. Для малых передних углов резца условное напряжение σ₀ принимают равным

Учитывая малые смещения УС при колебаниях, можно принять в приращениях Δа = у и выражение для силы резания записать в виде

,

где К_р – коэффициент резания (статическая характеристика ПР), Н/мм; у – деформация УС по нормали к поверхности резания, мм.

Коэффициент резания К_р (или коэффициент «жесткости» резания) представляет собой практически стабильную величину для конкретных условий обработки:

.

Коэффициент K – удельная сила резания, зависящая от обрабатываемого материала: для литейных чугунов К = 0,8 кН/мм²; для конструкционных сталей К = 2,0 кН/мм²; для легированных сталей К = 2,5...3,0 кН/мм².

Опираясь на современное учение о резании металлов, можно по­казать, что физические явления, возникающие в процессе стружкообразования, приводят к смещению во времени изменения силы резания по отношению к вызвавшему это изменение фактору. Это отставание во времени наглядно прослеживается при ступенчатом изменении толщины срезаемого слоя. На рис. 5 схематично показаны последовательные стадии положения резца при его врезании в заготовку и формирование стружки, а также соответствующие этим положениям значения силы ре­зания Р.

Рис. 5. Формирование стружки и силы резания при врезании

С достаточной для практических целей точностью можно принять закон изменения силы резания при ступенчатом изменении толщины срезаемого слоя экспоненциальным, т.е. инерционность, которая оп­ределяется ограниченностью скорости нагружения деформируемого объ­ема металла, характеризуется постоянной времени стружкообразования Т_Р. Представив ПР инерционным элементом динамической системы станка (используя метод идентификации), можно записать уравнение, описывающее поведение этого элемента:

или в операторной форме записи

Постоянная времени стружкообразования Т_P зависит от геометрии инструмента, обрабатываемого материала, толщины срезаемого слоя и скорости резания:

где α – коэффициент пропорциональности, зависящий от обрабатывае­мого материала и условий резания; V – скорость резания, мм/с.

Физический смысл произведения αaξ = l_P – «длина пути стружкооб­разования», т.е. расстояние, проходимое резцом относительно обра­батываемой поверхности для формирования стружки и, следовательно, силы резания.

Передаточная функция элемента W_P(p) ПP определяется на основе приведенных выражений отношением силы резания Р(р) к деформации УС у(р)

Комплексная частотная характеристика получается заменой в вы­ражении передаточной функции комплексной переменной р на её значе­ние jω (1.3):

Имея эти выражения, можно при необходимости построить амплитудную и фазовую частотные характеристики ПР. На риc. 6 показана комплексная частотная характеристика ПР для стационарного ре­жима обработки при значении параметров: К_P = 700 Н/мм, Т_P = 0,3∙10^-4 с.

Рис. 6. АФЧХ процесса резания

Как видно из графика, АФЧХ процесса резания расположена в одном квадранте.

Процесс трения

При нормальной эксплуатации металлорежущих станков перемеще­ние узлов в зависимости от типа направляющих протекает в режиме трения скольжения (смешанного или жидкостного) или трения качения. Неустойчивость движения ползуна (фрикционные автоколебания) наблюдается на направляющих скольжения смешанного трения. Жидкост­ное трение и трение качения обычно не вызывают скачкообразного движения узла в силу их низкого и относительно стабильного коэффи­циента трения.

Процесс трения характеризуется коэффициентом трения μ - отношение силы трения F к нормальной нагрузке N. Значения коэффи­циентов трения скольжения для различных фрикционных пар приведены в соответствующей справочной литературе.

В статической форме сила трения определяется законом Кулона

Выразив нормальную нагрузку через деформацию контактирующих поверхностей, получим уравнение для силы трения в отклонениях

где С_N – коэффициент жесткости контактирующих поверхностей по нор­мали к поверхности трения, Н/мм; у – контактная деформация, мм.

Коэффициент пропорциональности К_т между силой трения и кон­тактной деформацией УС называется статической характеристикой процесса трения

При соприкосновении поверхностей под нагрузкой происхо­дит вдавливание контактирующих неровностей друг в друга. Тангенци­альное смещение формирует в зоне контакта напряженное состояние, перед выступом образуется волна, препятствующая движению (рис. 7).

Рис. 7. Схемы реального контактирования поверхностей трения

и деформирования поверхностного слоя

Высота волны зависит от глубины внедрения выступа в сопрягаемое тело, т.е. от величины нормальной нагрузки, формы выступа и твердости фрикционных поверхностей. В процессе смещения волна растет, вместе с ней растет сила сопротивления дви­жению (сила трения) до тех пор, пока «вспученный» металл не начнет продавливаться под выступ (упругое оттеснение).

В процессе предварительного смещения, пока не началось сколь­жение, имеем стык, обладающий определенной тангенциальной жест­костью. Это обстоятельство в совокупности с образованием волны оп­ределяет отставание во времени формирования силы трения от измене­ния нормальной силы. Если ступенчато изменить нормальную силу N, приложенную к ползуну (рис. 8, а), сила трения изменяется по закону, близкому к экспоненциальному (рис. 8, в).

Рис. 8. Изменение силы трения при ступенчатом изменении нормальной

силы и комплексная характеристика процесса трения

По аналогии с процессом резания передаточную функцию W_T(p) процесса трения как инерционно­го звена системы можно представить в виде

где F(p) и у(р) – лапласовы изображения силы трения и нормального смещения ползуна; Т_т – постоянная времени предварительного смеще­ния, с.

Постоянная времени может быть представлена как отношение не­которой части предварительного смещения l_T к скорости скольже­ния V, которая предполагается постоянной (среднее значение)

Постоянная времени предварительного смещения может составлять величину от сотых долей секунды до целых секунд в зависимости от материалов фрикционных пар, нормальной нагрузки, типа смазки и т.д. Например, для фрикционной пары чугун-чугун и смазки индустри­альным маслом при скорости скольжения 0,1 мм/с постоянная времени составляет примерно 0,001 с. Достоверные значения этого параметра получают экспериментально.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика ПТ показана на рис. 8, б и имеет выражение

Приведенные зависимости статической и динамических характе­ристик процесса трения справедливы в линейной постановке задачи, когда скорость возможных колебаний ползуна по координате движения не будет превышать значение скорости скольжения, т.е. сформировав­шееся при предварительном смещении напряженное и деформационное состояние поверхностей трения изменяется незначительно. Если это условие не выполняется, то движение ползуна происходит с останов­ками (релаксационные автоколебания) и сила трения будет изменяться от значения трения скольжения до нуля или даже принимать отрица­тельное значение. Эти изменения происходят по форме гистерезиса, т.е. в нелинейном виде.