Практическое занятие 10. Метод суперпозиций. Решение уравнения пьезопроводности по заданной динамике падения давления на контуре укрупненой скважины

Пусть залежь – укрупненная скважина, эксплуатируется с постоянным во времени перепадом давления на водоносный пласт:

ΔР = Р_Н – Р(R_З). (5.1)

Для вычисления суммарного количества воды, которое поступит в залежь к моменту t, Ван-Эвердингеном и Херстом получено выражение:

, (5.2)

где - табулированная функция.

Допустим, во втором варианте известно изменение давления на контуре укрупненной скважины, , необходимо определить приток воды в залежь к моменту времени t, т.е. .

Интервал времени разбивается на n отрезков Δt, т.е. t= n Δt. Для любого i – го отрезка, 1 ≤ i ≥ n, известно падение давления на контуре укрупненной скважины:

.

Здесь Р_нач – давление в начальный момент времени t₀.

Согласно принципу суперпозиций общий приток воды в залежь складывается из суммы решений, полученных от действия на водоносный пласт каждого перепада как постоянного, начиная со времени .

Тогда общий приток воды складывается из суммы притоков от каждого постоянного перепада в соответствии с периодом действия этого перепада к моменту t, начиная с :

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Общий приток воды за период в результате последовательного снижения давления от Р_н до Р_n получается суммированием:

Значения функции для бесконечного по протяженности водоносного пласта.

Таблица 5.1 – Значения функции

……………... ………….	1·10-2 0,112	1·10-1 0,404	2·10-1 0,606	3·10-1 0,758
……………... ………….	5·10-1 1,020	1,570	2,442	3,209
……………... ………….	4,541	5,749	7,417	12,29
……………... ………….	16,81	24,82	32,28	43,01
……………... ………….	75,86	105,8	162,4	189,7
……………... ………….		103 293,1	2·103	3·103
……………... ………….	5·103 1,19·103	7·103 1,60·103	1·104 2,19·103	2·104 4,08·103
……………... ………….	3·104 5,89·103	5·104 9,34·103	7·104 1,27·104	105 1,76·104
……………... ………….	2·105 3,31·104	3·105 4,82·104	5·105 7,69·104	7·105 1,03·105
……………... ……….	106 1,46·105	·106 2,78·105	·106 4,06·105	·106 6,54·105
……………... ………….	6·106 7,76·105	7·106 8,96·105	107 1,25·106	2·107 2,39·106
……………... ………….	3·107 3,52·106	5·107 5,69·106	7·107 7,82·106	108 1,09·107
……………... ………….	3·108 3,1·107	5·108 5,03·107	109 9,72·107	3·109 2,77·108
……………... ………….	5·109 4,51·108	1010 8,75·108	5·1010 4,09·109	1011 7,95·109
……………... ………….	5·1011 3,75·1010	1012 7,28·1010	2·1012 1,42·1011

Значения функции подставляем в формулу 5.1 из таблицы 5.1 при соответствующих моментах времени t= 1,2,3,4,5 (годы)

Изменение давления по годам [атм] задаем в следующей последовательности:

ΔP₁=1,8; ΔP₂=1,5; ΔP₃=1,2; ΔP₄=1,0; ΔP₅=0,8;

Исходные данные: µ_в=10^-3Па сек, h=10м, β^*=10^-41/атм, R_з = 10⁴ м, Р_нач. = 100 атм, m =0,1; Δt = 365 сут.

Расчеты проводим в вариантах проницаемости к = 0,01 дарси, 0,02 дарси, 0,03 дарси.....и т. д.