Практическое занятие 14. Уравнение фильтрации двух-трех фаз

Закон Дарси для толстых и наклонных пластов формирующихся с учетом фильтрации. Для этого градиент давления по вертикали (оси Z) складывается градиентом силы тяжести:

здесь G (gamma_v, gamma_n, gamma_g)– давление силы тяжести

Это означает, что при распределении градиента давления по вертикали используется приведенное давление

Р =Р+ G_Z

Скорость фильтрации определяется не разностью манометрических давлений (Р₁-Р₂), а разностью приведенных давлений (∆Р – фильтрационный перепад,

∆Р = Р ₁-Р ₂= Р₁-Р₂+ 𝛾(Z₁-Z₂)

Так, рассмотрим точки 1, 2 на равных уровнях по вертикали:

Z

Координаты Z₁, Z₂ от уровня поверхности, например моря положительны. Тогда 𝛾(Z₁-Z₂)=- 𝛾(Z₂-Z₁), где ∆G=𝛾(Z₂-Z₁) – положительное гравитационное давление силы тяжести столба жидкости длиной (Z₂-Z₁), т.е. статическая составляющая, не вызывающая движение. При равенстве манометрического перепада ∆Р и статического ∆G движение жидкости в вертикальном направлении не происходит, ∆Р = 0.

Фильтрация в вертикальном направлении происходит при ∆Р ≠ 0, т.е. при определенном, ненулевом перепаде давления по вертикале.

Мы рассматривали вывод уравнения фильтрации одной фазы. Если движутся две или три фазы, несмешивающиеся между собой (нефть, газ, вода), то такого же вида уравнения будут записаны для каждой фазы в отдельности:

i=1, 2, 3 где: 1-газ

2 – нефть

3 – вода или:

Отличие от уравнения неразрывности однофазной жидкости – в уравнение входят - насыщенности фаз. В левой части S_i влияют на фазовые проницаемости. В правой части при составлении баланса масс для элемента мы должны учитывать для отдельной фазы не весь объем пор, а его долю, занимаемую i-ой фазой, m·S_i .

Если в систему уравнений неразрывности фаз подставить выражения скоростей, как функций давления и насыщенности, а также выражения плотностей фаз как функций давления, то для системы 3-х уравнений имеем неизвестных 4-Р, S₁,S₂,S₃.

Система замыкается соотношением: S₁ + S₂ + S₃ = 1

В данном случае предполагалось, что давления в фазах одинаковы Р.

Капиллярные силы. В поровых каналах возникают силы межфазного (капиллярного) давления, например, в двухфазном течении.

Р_г-Р_ж = Р_k(S_ж) – эмпирическая функция

Функции межфазных давлений известны из экспериментов. При различии давлений в фазах добавляются еще два уравнения, содержащие Р_г , Р_ж , Р_в . Система замыкается.

Задание.Записать вывод уравнения фильтрации одной фазы при трехфазной (по аналогии с выводом уравнения однофазной, но с учетом насыщенности).