Практическое занятие 9. Метод суперпозиций. Решение уравнения пьезопроводности по заданной динамике притока вод

Теория укрупненной скважины Ван-Эвердингена и Херста

Допустим, залежь – укрупненная скважина радиусом R_З, эксплуатируется в водоносном бассейне с постоянным во времени расходом воды "q_В", поступающей в залежь.

Согласно решению Ван-Эвердингена и Херста, изменение во времени давления на контуре укрупненной скважины Р(R_З) определяется по следующему уравнению:

. (4.1)

Здесь:

- параметр Фурье;

h, k и æ – толщина и коэффициентыпроницаемости и пьезопроводности;

μ_В – динамическая вязкость;

- табулируемая функция.

Известна динамика вторжения воды в залежь в виде зависимости дебита укрупненной скважины от времени, q_B(t). Необходимо найти давление на контуре укрупненной скважины к моменту t, т.е. .

Период времени от начала t₀ до t, разбиваем на n отрезков, т.е. t= n Δt. Для любого i – го отрезка, 1 ≤ i ≥ n, известно приращение дебита воды:

.

В начальный момент t₀ полагаем , тогда:

(4.2)

Элементарные дебиты рассматриваются как последовательно включающиеся, и далее постоянно действующие на пласт за период .

Метод суперпозиций дает решение, получающееся в результате суммарного действия всех элементарных дебитов как сумму решений от действия каждого а отдельности в период . Очевидно, что, суммируя все , к моменту получим, что на пласт действует , т.е. , т.к. величина каждого последующего погашает действие предыдущего . Тогда давление на контуре залежи при получается суммированием:

(4.3)

.

Таблица 4.1 – Значение функции для бесконечного по протяженности водоносного пласта.

………… ………	0,01 0,112	0,05 0,229	0,1 0,315	0,15 0,376	0,2 0,424	0,25 0,496	0,3 0,503	0,4 0,504
…………. ………	0,5 0,616	0,6 0,659	0,7 0,702	0,8 0,735	0,9 0,772	1,0 0,802	1,5 0,927	1,020
…………. ………	2,5 1,101	1,169	1,275	1,362	1,436	1,500	1,556	1,604
…………. ………	1,651	1,829	1,96	2,067	2,147	2,282	2,388	2,476
…………. ………	2,550	2,615	2,672	2,733	2,921	3,064	3,173	3,263
…………. ………	3,406	3,516	3,608	3,684	3,75	3,809	3,860

В расчета используем таблицу 4.1.

Значение данных таблицы подставляем в формулу (4.3) при соответствующих моментах времени. t=1,2,3,4,5(годы)

Расчеты проводим для значений q_в(t) по формуле: q_в(t)= α t^0,5 [10⁶ м³/сут, ], вычисляя Δq_в1, Δq_в2, Δq_в3, Δq_в4, Δq_в5 по схеме 4.2

Варианты α= 1,2…и т. д.

Исходные данные: к = 1 дарси, µ_в=10^-3Па сек, h=10м, β_ж=10^-51/атм, R_з = 10⁵ м, Р_нач. = 100 атм, m =0,1; Δt = 365 сут.