Математическая модель и погрешности

Процесс решения задачи из физики, техники или экономики с помощью методов математического моделирования можно представить на следующей схеме:

1. На первом этапе проводится исследование объектаи формулируется содержательная(физическая, техни­ческая, экономическая и др.) постановка задачи. Для того чтобы задачу можно было описать количественно, нужно провести качественный и количественный анализ свойств объекта и выделить основные параметры, оказы­вающие на них наиболее существенное влияние.

2. Следующим этапом является математическая поста­новка задачи, в процессе которой осуществляется пост­роение математической моделиобъекта. Под математи­ческой моделью понимают систему математических соотношений (уравнений, неравенств, краевых, началь­ных условий), которым должна удовлетворять система основных параметров задачи или объекта. Одно из основ­ных требований, предъявляемых к математической мо­дели, – соответствие исследуемому объекту, т. е. адек­ватность.Другое немаловажное требование – чтобы модель была не слишком сложной, доступной для мате­матической обработки. Умение находить оптимальное сочетание адекватности и сложности зависит от квалифи­кации и даже интуиции исследователя и является в опре­деленной степени искусством.

3. На следующем этапе необходимо найти методы (ал­горитмы) решения математической задачи. В некоторых, наиболее простых случаях удается построить аналити­ческое решениезадачи. Такие решения являются наибо­лее привлекательными, поскольку позволяют не только количественно, но и, что не менее важно, качественно проанализировать исследуемые параметры. К сожале­нию, в подавляющем большинстве случаев это не пред­ставляется возможным, и для решения математической задачи применяются численные методы. Как аналити­ческие, так и численные методы решения задач подраз­деляются на точные иприближенные.

К точным относят такие методы, которые позволяют получить решение за­дачи с любой, заранее заданной точностью.

Приближен­ные методы не предоставляют такой возможности. В этих

случаях при построении решения должна быть произве­дена оценка погрешности, или остаточного члена. В свою очередь, численные методы решения задач разби­ваются на 2 группы.

К первой относятся так называемые прямые методы- алгоритмы, позволяющие за конечное, заранее определенное число арифметических действий получить решение задачи.

Вторую группу составляют методы последовательных приближений, или так назы­ваемые итерационные методы.

На следующей схеме приведена классификация методов решения вычислительных задач.

4. Четвертым этапом является разработка программы решения задачина компьютере, ее тестирование и отлад­ка. Может оказаться так, что рассматриваемая математи­ческая задача исследована, и для ее решения разработа­ны стандартные программы, которые могут существовать отдельно или входить в пакеты прикладных программ. Тогда остается только выбрать подходящую программу или пакет прикладных программ.

5. На заключительном этапе выполняют вычислитель­ные экспериментына компьютере и проводят анализ результатов. Если результаты не удовлетворяют исследо­вателя, требуется совершенствование алгоритма или метода решения задачи, ее математической модели, а в некоторых случаях – корректировка содержательной по­становки.

1.2. Источники и классификация погрешностей

Определение 1.2. Абсолютной погрешностьюΔ при­ближенного значения называется модуль разности меж­ду точным и приближенным значениями этой величины:

Δ = | а - а_р|.(1.2)

Определение 1.3. Относительной погрешностью при­ближенной величины а_р называется отношение абсолютной погрешностиприближенной величины к абсолютной величине ее точного значения:

δ = = . (1.3)

Это равенство можно записать в другой форме:

Δ = |а|× δ. (1.4)

На практике, как правило, точное значение величины неизвестно. Поэтому вместо теоретических понятий абсо­лютной и относительной погрешностей используют прак­тические понятия предельной абсолютной погрешностии предельной относительной погрешности.

Определение 1.4. Под предельной абсолютной погреш­ностьюприближенного числа понимается всякое число Δ_a, не меньшее абсолютной погрешности этого числа:

Δ = | а - а_р| ≤ Δ_а. (1.5)

Неравенство (5) позволяет для точного значения ве­личины получить оценку

а_р - Δ_а ≤ а ≤ а_р + Δ_а. (1.6)

Часто неравенства (6) записывают в другой форме

а = а_р ± Δ_а = а_р (1 ± Δ_а). (1.7)

На практике в качестве предельной абсолютной погреш­ности выбирают наименьшее из чисел Δ_а, удовлетворяющих неравенству (1.5), однако это не всегда возможно.

Определение 1.5. Предельной относительной погреш­ностью δ_а данного приближенного числа называется лю­бое число, не меньшее относительной погрешности этого числа:

δ ≤ δ_а. (1.8)

Так как справедливо неравенство

δ = ≤ ,

то можно считать, что предельные абсолютная и относи­тельная погрешности связаны формулой

δ_а = или Δ_а = |а| × δ_а. (1.9)

Если абсолютная погрешность Δ_а значительно меньше точного значения |а|,то относительную погрешность оп­ределяют приближенно как отношение абсолютной по­грешности к приближенному значению:

δ_а » , Δ_а » |а_p| × δ_а. (1.10)

Часто в формуле (1.10) вместо знака «»» используют знак точного равенства « = ».

Относительную погрешность иногда задают в процентах.

1.4. Значащие цифры

Определение 1.6. Значащими цифрами в записи при­ближенного числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Определение 1.7. Первые п значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосхо­дит половины единицы разряда, соответствующего п-йзначащей цифре, считая слева направо.

Наряду с данным определением иногда используется другое.

Определение 1.8. Первые п значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосхо­дит единицы разряда, соответствующего n-йзначащей цифре.

1.5. Правило округления чисел

Теорема 1.1. Если положительное приближенное чис­ло имеет п верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10^{1 - n}, деленной на первую значащую цифру а_н:

δ ≤ 10^{1 - n} / а_н. (1.11)

Формула (11) позволяет вычислить предельную от­носительную погрешность

δ_a = 10^{1 - n} / а_н. (1.12)

1.6. Погрешности арифметических операций

Приведем правила вычисления погрешности результа­та различных арифметических операций над приближен­ными числами.

Относительно алгебраической суммы u = х ± у можно утверждать следующее.

Теорема 1.2. Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т. е.

Δ_u = Δ_x + Δ_y. (1.13)

Из формулы (1.13) следует, что предельная абсолют­ная погрешность суммы не может быть меньше предель­ной абсолютной погрешности наименее точного из сла­гаемых, т. е. если в состав суммы входят приближенные слагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишние значащие цифры в более точных не имеет смысла.

Теорема 1.3. Если все слагаемые в сумме имеют один и тот же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относи­тельных погрешностей слагаемых:

δ_u ≤ . (1.14)

При вычислении разности двух приближенных чисел и = х - у её абсолютная погрешность, согласно теоре­ме 2, равна сумме абсолютных погрешностей уменьша­емого и вычитаемого, т. е. Δ_u = Δ_x + Δ_y, а предельная относительная погрешность

δ_u = .(1.15)

Из формулы (1.15) следует, что если приближенные значения х и у близки, то предельная относительная по­грешность будет очень большой.

В некоторых случаях удается избежать вычисления разности близких чисел с помощью преобразования выра­жения так, чтобы разность была исключена.

Если представляется сложным заменить вычитание близких приближенных чисел сложением, то следует поступать так: если известно, что при вычитании долж­но пропасть m первых значащих цифр, а в результате требуется сохранить п верных цифр, тогда в уменьшае­мом и вычитаемом следует сохранять m + п верных зна­чащих цифр.

Теорема 1.4. Предельная относительная погрешность произведения и = х× у приближенных чисел, отличных от пуля, равна сумме предельных относительных погрешно­стей сомножителей, т. е.

δ_u = δ_x + δ_y. (1.16)

В частности, если и = kx, где k – точное число, имеем Δ_u = |k|Δ_x, δ_и = δ_х.

Теорема 1.5. Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных по­грешностей делимого и делителя.

1.7. Погрешность произвольной функции