Геометрическая интерпретация оптимизационных задач линейного программирования

Пусть необходимо найти оптимальный план производства двух видов продукции (x1 и x2), т.е. такой план, при котором целевая функция (общая прибыль) была бы максимальной, а имеющиеся ресурсы использовались бы наилучшим образом. Условия задачи приведены в таблице:

 

Вид продукции Норма расхода ресурса на единицу продукции Прибыль на единицу изделия
  А В С  
0,1 3,5
0,5
Объем ресурса  

 


Оптимизационная модель задачи запишется следующим образом:

а) целевая функция:

б) ограничения:

1 + х2 12 (ограничение по ресурсу А);

0,1х1 + 0,5х2 4 (ограничение по ресурсу B);

3,5х1 + х2 18 (ограничение по ресурсу C).

в) условие неотрицательности переменных:

Данную и подобные оптимизационные модели можно продемонстрировать графически (Рис.3.3.).

Преобразуем нашу систему ограничений, найдя в каждом из уравнений x2 , и отложим их на графике. Любая точка на данном графике с координатами x1 и x2 представляет вариант искомого плана. Однако ограничение по ресурсу А сужает область допустимых решений. Ими могут быть все точки, ограниченные осями координат и прямой АА, т.к. не может быть израсходовано ресурса А больше, чем его на предприятии имеется. Если точки находятся на самой прямой, то ресурс используется полностью.

Аналогичные рассуждения можно привести и для ресурсов В и С. В результате условиям задачи будет удовлетворять любая точка, лежащая в пределах заштрихованного многоугольника. Данный многоугольник называется областью допустимых решений.

Рис. 3.3. Геометрическая интерпретация оптимизационной задачи
линейного программирования

Однако нам необходимо найти такую точку, в которой достигался бы максимум целевой функции. Для этого построим произвольную прямую 4Х1+5Х2=20, как Х2=4-4/5Х1 (число 20 произвольное). Обозначим эту линию РР. В каждой точке этой линии прибыль одинакова. Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая удалена от начала координат в наибольшей мере, однако, не выходит за пределы области допустимых решений. Это точка М0, которая лежит на вершине многоугольника. Координаты этой точки ( ) и будут искомым оптимальным планом.






Дата добавления: 2016-05-30; просмотров: 1429; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.018 сек.