Лекция 8. Синтез нерекурсивных цифровых фильтров

8.1. Классификация нерекурсивных цифровых фильтров

К нерекурсивным цифровым фильтрам можно отнести:

- фильтры с линейной ФЧХ;

- частотно-селективные фильтры;

- цифровые преобразователи Гильберта (ЦПГ);

- цифровые дифференциаторы (ЦД);

- согласованные фильтры.

8.2. Синтез нерекурсивных фильтров методом окон

Для данного метода задается желаемый коэффициент передачи в виде непрерывной периодической функции, определенной в диапазоне частот от нуля до частоты Найквиста .

Непрерывная периодическая функция может быть разложена в ряд по отсчетам импульсной характеристики:

. (8.1)

Рисунок 8.1 – идеальная АЧХ ПФ

Для получения бесконечной последовательности отсчетов идеальной импульсной характеристики вычисляется обратное преобразование Фурье:

. (8.2)

Рисунок 8.2 – процедура усечения импульсной характеристики

Для получения реализуемого нерекурсивного фильтра заданного порядка бесконечная последовательность импульсной характеристики усекается. В результате усечения получается частотная характеристика синтезированного фильтра:

. (8.3)

После замены получим передаточную функцию цифрового фильтра:

. (8.4)

Рисунок 8.3 – искажения частотной характеристики

Из-за усечения появляются:

- переходные полосы между областями пропускания и задерживания;

- пульсации 9% на границах полос пропускания и задерживания (явление Гиббса);

- колебания коэффициента передачи в полосе пропускания;

- в полосах задерживания АЧХ принимает лепестковый характер и не равна нулю.

Для ослабления указанных эффектов и в первую очередь для уменьшения уровня лепестков в полосах задержания усеченная импульсная характеристика умножается на весовую функцию, плавно спадающую к краям:

. (8.5)

Платой за уменьшение уровня боковых лепестков является некоторое расширение полосы пропускания.

8.3. Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ

ЦФ фильтры с линейной ФЧХ позволяют передавать сигналы без искажения их формы.

Линейность ФЧХ нерекурсивных фильтров обеспечивается при выполнении единственного условия: симметрии или антисимметрии импульсной характеристики:

, (8.6)

где - полное число отсчетов импульсной характеристики, включая нулевой.

Нерекурсивные цифровые фильтры с линейной ФЧХ отличаются своими характеристиками в зависимости:

- от симметричности или антисимметричности;

- от четности или нечетности числа отсчетов.

Соответственно, существуют четыре типа нерекурсивных фильтров с линейными ФЧХ.

Симметричные фильтры с четным числом отсчетов N

Импульсная характеристика таких фильтров определяется выражением:

. (3.2)

Передаточная характеристика такого фильтра с учетом свойства симметрии описывается выражением:

. (3.3)

После преобразований можно получить выражение для частотной характеристики:

. (3.3)

Соответственно, вещественная частотная характеристика (ВЧХ) и ФЧХ фильтра имеют вид:

; (3.4)

. (3.5)

Рисунок 3.1 – характеристики рекурсивного фильтра типа 1 (a - N=2, б - N=6)

ВЧХ является четной функцией аргумента .

На частоте Найквиста , ЧХ всегда равна нулю.

ФЧХ является линейно-разрывной функцией.

ФЧХ антисимметрична относительно частоты Найквиста:

. (3.6)

Возможно реализовывать только ФНЧ и ПФ. Невозможно реализовывать ФВЧ и РФ.

Антисимметричные фильтры с четным числом отсчетов N

Импульсная характеристика таких фильтров определяется выражением:

. (3.7)

Выражение для частотной характеристики такого фильтра может быть получено в виде:

. (3.8)

Соответственно, вещественная частотная характеристика (ВЧХ) и ФЧХ фильтра имеют вид:

; (3.9)

. (3.10)

ВЧХ является нечетной функцией аргумента .

На нулевой частоте ЧХ равна нулю.

ФЧХ является линейно-разрывной функцией, антисимметрична относительно частоты Найквиста:

. (3.11)

Рисунок 3.2 – характеристики рекурсивного фильтра типа 2 (a - N=2, б - N=6)

Возможна реализация фильтров ФВЧ и ПФ, ЦПГ, ЦД.

Фильтр непригоден для проектирования ФНЧ.

Симметричные фильтры с нечетным N

Импульсная характеристика таких фильтров определяется выражением:

. (3.12)

Вещественная ЧХ фильтра имеет вид:

. (3.13)

Рисунок 3.3 – характеристики рекурсивного фильтра типа 3 (a - N=3, б - N=7)

ЧХ является четной функцией частоты. ЧХ не равна нулю на частоте Найквиста.

Такие фильтры могут реализовывать произвольную избирательности (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ и др.).

Антисимметричные фильтры с нечетным N

Импульсная характеристика таких фильтров определяется выражением:

. (3.14)

ЧХ фильтра имеет вид:

. (3.15)

Рисунок 3.4 – характеристики рекурсивного фильтра типа 4 (a - N=3, б - N=7)

ЧХ является нечетной функцией частоты. ЧХ равна нулю как при нулевом значении частоты, так и на частоте Найквиста.

Такой фильтр целесообразно использовать только при проектировании полосового фильтра.

Литература

Маркович И.И. Цифровая обработка сигналов в системах и устройствах: монография / И.И. Маркович; Южный федеральный университет. – Ростов н/Д: Издательство Южного федерального университета, 2012. – 236 с. (стр. 108)

Гадзиковский В.И. Цифровая обработка сигналов. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2013. – 766 с. (с. 102)

Солонина А.И., Арбузов С.М. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB / А.И. Солонина, С.М. Арбузов. – СПб.: БХВ – Петербург, 2008. 816 с.

Васильев В.П. Основы теории и расчета цифровых фильтров: учеб. Пособие / В.П. Васильев, Э.Л. Муро, 2-е изд., стереотип. – М.: ИНФРА – М, 2018. – 272 с.

Варгаузин В.А. Цифровая обработка сигналов: Минимаксные аппроксимации для задач цифровой фильтрации: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. – 87 с.