Примеры расчета магнитного поля

Пример 1. По длинному полому биметаллическому проводу, расположенному в воздухе, протекает постоянный ток I = 200 А (рис. 3.6). Радиус отверстия, внутреннего и наружного провода равны соответственно r₀ = 4 мм, r₁ = 8 мм и r₂ = 16 мм. Внутренний провод выполнен из меди (g₁ = 58 мкСм/м), наружный из алюминия (g₂ = 34 мкСм/м).

Определить закон изменения векторного потенциала и магнитной индукции внутри и вне провода. Построить графики изменения этих величин вдоль радиуса. Найти индуктивность провода на единицу длины.

Решение. Поскольку поле в данном случае обладает цилиндрической симметрией, то данную задачу можно решить с помощью закона полного тока, представленного в интегральной форме (3.3). Для этого разобьем область исследования на четыре подобласти. В первой подобласти (0 £ r £ r₀) напряженность магнитного поля равна нулю. Для определения напряженности поля во второй подобласти (r₀ £ r £ r₁), проводим окружность произвольным радиусом r с центром на оси провода и для контура, образованного данной окружностью применяем закон полного тока. С учетом того, что вектор напряженности направлен по касательной к окружности и по величине остается неизменным, выражение (3.3) можно представить в следующем виде:

Аналогично определяется напряженность поля в третьей подобласти (r₁ £ r £ r₂)

Таким образом, для определения напряженности поля в соответствующих подобластях необходимо рассчитать плотность тока d₁ и d₂

.

После подстановки в последние выражения соответствующих величин получаем d₁ = 396.5 кА/м², d₂ = 232.4 кА/м².

Напряженность поля в четвертой подобласти (r₂ £ r £ ¥) определяется с помощь следующего выражения:

Изменение напряженности вдоль радиуса показано на рис. 3.7.

Отметим, что поскольку магнитная проницаемость во всей области одна и та же, то распределение магнитной индукции вдоль радиуса полностью повторяет распределение напряженности поля.

Для нахождения векторного потенциала необходимо для каждой из подобластей записать уравнение Пуассона (3.7) или Лапласа (3.8) и провести их совместное решение. Эти уравнения удобнее записывать в цилиндрической системе координат. При этом необходимо учитывать, что в данной задаче векторный потенциал имеет только одну составляющую, направленную по оси провода (по оси z) и эта составляющая зависит только от радиуса r. Раскрывая лапласиан в указанной системе координат, будем иметь:

Интегрируя дважды по r, получаем выражения для потенциала для каждой подобласти:

Слагаемое С₁lnr должно отсутствовать, так как А не может принимать бесконечно больших значений при r = 0. Отсюда следует, что постоянная интегрирования С₁ = 0. Векторный потенциал определяется с точностью до постоянной. Примем эту постоянную равной нулю: С₈ = 0. Для определения оставшихся шести постоянных составим с помощью граничных условий систему уравнений. Эти граничные условия определяют равенство на границе раздела двух сред касательных составляющих напряженности поля и равенство векторного потенциала.

Касательной в данной задаче является угловая составляющая напряженности поля, которая определяется с помощью выражения (3.6) следующим образом:

Таким образом, для определения постоянных интегрирования получаем систему уравнений:

Решая совместно данные уравнения, получаем: С₂ = 1.845×10^-4; С₃ = 3.986×10^-4;
С₄ =2.085×10^-4; С₅ = -2.612×10^-6; С₆ = 1.733×10^-4; С₇ = -4×10^-4.

На рис. 3.8 показано распределение векторного потенциала вдоль радиуса. Данные на графике представлены в относительных единицах. За базисное значение принято значение потенциала в первой зоне А₁ = 1.845×10^-4 Вб/м.

Для определения индуктивности провода вначале найдем магнитный поток, пронизывающий биметаллический провод на длине, равной одному метру.

Для этого воспользуемся формулой (3.10), которую, с учетом того, что векторный потенциал направлен вдоль оси провода, а в подынтегральном выражении стоит скалярное произведение двух векторов, можно преобразовать к следующему виду:

Вб.

Таким образом, индуктивность (на один метр длины) биметаллического провода равна: L = Ф/I = 95.5×10^-9 Гн/м.

Пример 2. Рассчитать напряженность магнитного поля двухпроводной линии с током I = 2700 А, провода которой выполнены из алюминия и имеют радиус R = 28 мм. Расстояние между проводами 2d = 20 м (рис. 3.9).

Решение. Решение данной задачи можно получить либо с помощью закона полного тока, либо с использованием функции векторного магнитного потенциала. Выражение векторного потенциала внутри цилиндрического провода с током и вне его, уже получено в предыдущем примере. Так, внутри провода (0 £ r £ R) оно имеет вид:

,

а вне провода (R £ r £¥) –

Постоянные интегрирования определяются из условий равенства на поверхности провода векторного потенциала (А₁ = А₂, при r = R) и его нормальных производных (dА₁/dr = dА₂/dr, при r = R)

Нас интересует поле только вне провода, поэтому выражение для потенциала в этой области с точностью до постоянной будет иметь вид:

Используя данную формулу, запишем выражение для определения векторного потенциала в произвольной точке М (рис. 3.9) от двух проводов

Примем значение постоянной С равной нулю (это означает, что за точку нулевого потенциала мы приняли начало координат) и перепишем последнее выражение в прямоугольной системе координат

С помощью выражения (3.6) найдем составляющие напряженности магнитного поля

при у = 10 м показано на рис. 3.10.

Распределение данных составляющих, а также модуля напряженности магнитного поля, который определяется по формуле

,