Диффузионный поток. Первое уравнение Фика

Феноменологические уравнения диффузии выведены без учета периодичности кристаллического строения металлов, т.е. металл рассматривается как непрерывная среда (континуум). Изучение диффузии сводится к составлению и решению соответствующих кинетических дифференциальных уравнений.

В основу этих уравнений взяты предположения, сделанные в 1855 году Адольфом Фиком при изучении диффузионных явлений в жидкостях. Хорошо известный читателю из школьного курса опыт по броуновскому движению частиц чернил в стакане воды, когда в отсутствии конвекционного перемешивания система самопроизвольно выравнивает концентрацию чернил по объёму стакана, т.е. молекулы чернил перемещаются в том направлении, в котором их меньше. Причина возникновения диффузионного потока связана со стремлением системы к увеличению энтропии за счет перемешивания частиц, которое реализуется благодаря их тепловому движению.

Механизм диффузии в твердом теле не совпадает с тепловым блужданием в жидкости. Малые тепловые колебания атомов около положений равновесия не приводят к диффузии. Для одного элементарного скачка из положения равновесия атому нужно достаточно долго ждать «благоприятной» флуктуации, когда он сможет сместиться всего лишь на одно межатомное расстояние, а потом опять долгое ожидание. Поэтому диффузия в твердых телах происходит гораздо медленнее, чем в жидких системах.

Основная идея Фика заключалась в том, что проникновение растворенного вещества в растворитель подобно проникновению теплоты в проводнике тепла. При этом он воспользовался уравнениями Фурье, составленными для теплопроводности, заменив в его законе слова «количество тепла» на «количество растворенного вещества» и слово «температура» на слова «концентрация раствора».

Следуя этой аналогии, рассмотрим одномерную задачу. Пусть в металлическом прутке вдоль его оси создана монотонная неоднородность концентрации растворенного элемента. Стремление системы к равновесному состоянию вызовет поток растворённого элемента в направлении противоположном градиенту его концентрации. Плотность такого потока вдоль оси может быть записана уравнением подобным уравнению теплопроводности

, (1.1)

где - коэффициент диффузии.

Данное уравнение называется первым уравнением Фика. В нём знак «минус» указывает на то, что поток направлен из области с большей концентрацией в область с меньшей. Коэффициент введен Фиком как константа, зависящая от природы растворителя и растворённого вещества. Позже будет показано, что коэффициент диффузии достаточно сложный параметр, зависящий от множества факторов.

В случае трёхмерной задачи первое уравнение Фика принимает вид

(1.2)

Данное уравнение является феноменологическим, поскольку в нем не заложен никакой модели, а только отмечен наблюдаемый экспериментально факт приближения системы к равновесию.