Паранепротиворечивые логические системы

"... Гений - парадоксов друг".

(А.С. Пушкин)

Термин "паранепротиворечивая логика" был введен в 70-х годах для обозначения таких систем, которые оперируют мыслями, содержащими противоречивые высказывания, выражаемые общей формулой А и не-А. Правда, появились такие концепции гораздо раньше. Мы уже говорили о философии Гегеля, который считал некорректными аристотелевские законы логики, в частности, запрет на одновременные утверждения и отрицания. И созданное им учение он пытался основать на представлении о том, что "противоречие есть корень всякого движения и жизненности", что оно пронизывает все мироздание, поскольку последнее представляет собой развивающееся и взаимосвязанное целое. Еще раньше И. Кант (1724-1804) стал говорить о так называемых неустранимых антиномиях, в которых тоже что-либо утверждается и одновременно отрицается. Но Кант не связывал с антиномиями критической переоценки законов логики.

Противоречия реальны, они существуют. И надо уметь их изображать. Однако требования к мысли быть определенной и последовательной все равно остаются в силе и в этом случае тоже. Это значит, назвав что-либо противоречием, нельзя затем отказываться от такой характеристики этого предмета. Надо и дальше последовательно и определенно придерживаться такого однажды принятого представления о нем.

При таком подходе непротиворечивость как один из основополагающих принципов логического мышления оказывается производной от более широких и фундаментальных, логических первоначал - определенности и последовательности (см. начало раздела «Основные законы логики»). Выделять последние нет необходимости, пока наука имеет дело с непротиворечивой действительностью: быть определенным и последовательным в таком случае означает быть непротиворечивым. Однако когда предметом внимания делается само противоречие, то тогда ситуация, конечно, меняется: при таких обстоятельствах, чтобы быть определенным и последовательным, надо быть именно противоречивым. Стало быть противоречие может в некоторых условиях стать признаком правильного мышления.

Делать взаимоисключающие утверждения об одном и том же предмете иногда в общем-то приходится. Можно привести немало примеров, когда намеренно прибегают к противоречивым формулировкам вроде известных слов из песни "Подмосковные вечера": "... Речка движется и не движется, ... песня слышится и не слышится, ... трудно высказать и не высказать". Разумеется, они никого не введут в заблуждение, хотя в них явно отступают от принятых ныне в логике требований. Это всего лишь поэтическое изображение колебания настроения и не более того. Оно повторяется, как рефрен, и именно потому что повторяется, несет вполне определенное содержание и при всей противоречивости фраз не порождает никакой путаницы.

Может быть противоречие и приемом, с помощью которого высказанная мысль усиливается. Вот один из конкретных примеров:

"Ненависть девятнадцатого века к Романтизму - это ярость Калибана, увидевшего себя в зеркале".

"Ненависть девятнадцатого века к Романтизму - это ярость Калибана, не находящего в зеркале своего отражения".

Это два характерных высказывания из предисловия к роману "Портрет Дориана Грея" английского писателя Оскара Уайльда. Он весьма часто склонен прибегать к парадоксальным фразам, дабы подчеркнуть нужное место, заострить на нем внимание. Такой прием можно встретить у самых разных авторов.

Век видит себя в зеркале и в то же время не находит своего отражения в нем. Конечно же, читатель догадывается, что противоречие возникает из-за недоговоренности: видит себя в зеркале (не таким, как ему нравится), не видит себя в зеркале (таким, как ему нравится); частица "не" просто переходит из одной части всей мысли в другую, и эта часть один раз не проговаривается, всего лишь подразумеваясь. На деле получается, что одно и то же повторено два раза, хотя и разными способами. Однако такая форма подачи усиливает вложенный в высказывание смысл, потому что в ней как бы показывается, что один и тот же результат вытекает из взаимоисключающих альтернатив, из двух диаметрально противоположных обстоятельств. Он как бы делается неотвратимым при любых условиях. Кроме того, такая фраза невольно обращает на себя внимание своей необычной парадоксальной формой, запоминается. Впечатление от нее полновеснее.

Художественная литература знает немало забавных сюжетов, вызванных спорами вокруг вопросов вроде: стакан наполовину пуст или стакан наполовину наполнен? отрубить голову или отрубить хвост (по самую шею)? Можно было бы и дальше продолжить такой список: путь наполовину пройден - путь наполовину не пройден, первая пятница на этой неделе - последняя пятница на этой неделе. Общим для антиномий такого рода является то, что они возникают от недоговоренности, и если каждый раз восстанавливать невысказанную, но обязательную часть мысли, то никакого противоречия не будет.

Несколько иначе обстоит дело, если рассматривать противоречия, обусловленные противонаправленными процессами: вода в сосуд втекает - вода из сосуда вытекает, продовольствие ввозится - продовольствие вывозится и т.п. Путаницы не возникает, если мы при этом указываем, до какой степени имеет место то и другое, количественно оцениваем (или хотя бы просто в состоянии оценить) противонаправленные процессы: втекает столько-то - вытекает столько-то (в итоге - или только втекает или только вытекает), ввозится столько-то - вывозится столько-то. Без этого можно было бы, как мы уже говорили в разделе об умозаключениях, прийти, например, к выводу, что неурожай приводит к изобилию, поскольку вызывает приток продовольствия в пораженную местность, а наука, как можно было бы утверждать, руководствуясь такой логикой, ведет к невежеству, потому что каждое ее открытие ставит перед учеными множество совершенно новых неразрешимых проблем.

Но иногда такие взаимоисключающие свойства не допускают единой количественной оценки. Однозначный итог тогда получить нельзя. В таком случае противоречивая характеристика остается. Допустим, кто-то совершил преступление, но потом оказал в другом месте бескорыстную помощь, то есть совершил и зло, и доброе дело. Нейтрализует ли одно другое? Возьмите Робина Гуда. Правильно ли считать, что у него все подчинено добрым делам и он занят только ими даже во время ограбления (каковое считает способом получения средств на помощь обездоленным), или он все-таки должен быть признан разбойником, хотя и готовым по временам также и на добрые поступки (добрым разбойником)?

Можно назвать множество ситуаций, когда взаимоисключающие характеристики, свойственные тому или иному предмету, нельзя подвести под какой-то единый масштаб и вычислить итоговую составляющую их взаимодействия, как это легко сделать, скажем, с ввозом и вывозом. Например, в обычной неорганической химии кислотные и щелочные свойства являются несовместимыми и поэтому вещества, обладающие ими, совершенно оправданно относят к разным категориям. Однако в органической химии, где имеют дело с молекулами, состоящими иногда из сотен и тысяч атомов, бывает, что на одном конце такой молекулы сосредоточены кислотные свойства, а с другого конца она ведет себя как вещество щелочное. Было бы бессмысленно говорить о какой-то нейтрализации одного другим и возникновении в качестве результата некоего среднего свойства между кислотностью и щелочью. Поэтому остается только одно: признать, что данное вещество ведет себя противоречиво. Оно - и кислота, и щелочь.

Правда, здесь можно было бы указать на то, что пространственно данные взаимоисключающие свойства разделены и потому их взаимоотношение не является противоречием "в одном и том же отношении". Так что после уточнения понятий, как говорят в таких случаях, противоречие исчезнет. Однако на деле такая программа избавления от проблемы (общепринятая и обычно результативная в других случаях) здесь ничего не даст, потому что надо не только разделить молекулу на кислотную и щелочную половинки, но еще и создать обновленную теорию, которая опиралась бы на эти "уточненные" понятия, то есть оперировала бы не молекулами, а их половинками. Только в этом случае теория станет свободна от противоречий. Однако отказ от понятия молекулы нагромоздит бездну путаницы в другом месте. Поэтому сейчас на противоречия такого рода (а их очень много в разных областях знания) просто закрывают глаза, полагая, что в будущем все как-нибудь разрешится. Между тем их число только возрастает. Недавно предметом внимания ученых стали так называемые "жидкие кристаллы" - жидкости, которые в то же время ведут себя как твердые вещества. Очень много таких трудно устранимых противоречий даже в такой точной науке, как математика: бесконечно малая величина оказывается, если ее проанализировать, и равной нулю, и не равной ему в одном и том же рассуждении, полностью противоречит правилам для отрицательных чисел мнимая единица, есть в математике и много других парадоксов.

Еще один аспект, в котором возникает потребность оперировать противоречиями, относится к философии с ее универсальным подходом к явлениям. Кант, заметим, свое учение об антиномиях относил именно к этой области. В философии имеют дело либо с запредельными далями, куда можно перенестись лишь мысленно, либо с неизведанным и трудно постижимым вокруг нас. Это значит, что предметом размышления и анализа этой древней науки выступают явления, о которых можно судить, опираясь только на самые общие, применимые ко всему положения. В силу этого они малоконкретны и порождают массу нескончаемых споров.

Однако универсальные утверждения порождают, как давно было замечено, множество парадоксов. Попробуйте, например, утверждать, что нет ни одного истинного утверждения. Если вы это сделаете, то вам тут же возразят: раз уж эта мысль такая универсальная, касается всех утверждений, то тогда значит и само это высказывание об отсутствии истинных утверждений тоже надо признать ложным. Так же опровергает само себя и положение о том, что все утверждения истинны, так как тогда истинным надо признавать и то утверждение, которое отрицало бы исходное. Кто-то может сказать: не слушайте ничьих советов. И это было бы такой же нелепостью (если подойти к такому совету строго формально), как и предложение слушать все советы без исключения (поскольку это означало бы послушаться и того, кто предложит никого не слушать).

Таких самопротиворечивых утверждений очень много. Для математики теоретически особенно важен парадокс под названием "Лжец". Суть его в том, что утверждение "Я - лжец" опровергает само себя подобно тому, как это происходит с предыдущими утверждениями. За последние сто лет в математике найдено много парадоксов подобного рода, которые не позволяют завершить теорию обоснования всего математического знания.

Когда-то в рамках так называемого отрицательного богословия было показано, что божеству нельзя приписывать обычные человеческие свойства, так как возведенные в абсолют они сами себя опровергают, делаются нелепыми. Если, например, кто-то станет считать бога абсолютно всемогущим, то тут же явится каверзный вопрос: может ли бог сотворить камень такой величины и такой тяжести, чтобы и сам не мог его поднять? Любой ответ, как легко увидеть, ведет к отрицанию первоначального утверждения. У известного средневекового богослова Августина Блаженного можно найти даже утверждение, что бог потому и всемогущ, что не все может: он не может ошибаться, не может что-то забыть, не может исчезнуть. Заподозрить в незнании логики этого весьма тонкого и гибкого мыслителя невозможно. Просто он, видимо, чувствует, что последовательное представление об этом абсолюте с неизбежностью является противоречивым. Мы могли бы говорить точно так же и о всесилии разума. Многие верят в то, что со временем ему будет доступно все. Нелишне обратить внимание, раз уж зашла речь о таком вопросе, что сколь бы далеко ни заходил прогресс, творить все, что угодно, в том числе и любые нелепости (несовместимые с законами разума), означало бы устранение самого разума.

Можно уже на этой стадии утверждать, что всюду, где требуется универсальный подход, и из-за этого возникают парадоксы типа "Лжеца", тем самым создается потребность в неклассических логических системах. Потому что противоречия этого вида явно не относятся к разряду тех, что порождены ошибкой в анализе. В них отражается определенный аспект действительности. Надо поэтому признать их нормой правильного мышления в тех случаях, когда оно имеет дело с этим аспектом. Стало быть при проведении анализа каких-то универсальных понятий в некоторых случаях надо следить за тем, чтобы противоречие именно возникало. Коль мы признаем парадокс вроде "Лжеца" неизбежным, когда рассматриваются универсальные понятия, то тогда, чтобы быть последовательным, надо также признавать, что получение противоречия такого типа является показателем безошибочного рассуждения. Именно это и должно в таких условиях считаться признаком того, что рассматриваемый предмет мыслится последовательно и определенно.

Здесь пора дать пояснение к диалогу из тургеневского "Рудина", который в нашей отечественной учебной литературе стал почти классическим примером к закону противоречия и приводится также и у нас (см. ч.1, парагр. 3.2). Надо, однако, признать, что противоречие, в которое впадает собеседник Рудина во время спора, как раз относится к числу тех, что порождаются универсальным характером высказывания ("Никаких убеждений нет и быть не может!" - говорит там Пигасов). Чтобы правильно понять весь диалог, надо помнить, что Рудин - последователь Гегеля, чей авторитет в первой половине девятнадцатого века был непререкаемым, в частности и у нас в России. Между тем Гегель, как мы помним, был одним из первых, кто стал создавать учение, основанное на признании конструктивной роли противоречия. Он и его многочисленные сторонники действительно умели находить противоречия даже там, где другие их не видели. Но при этом они далеко не всегда интерпретировали их как ошибку. Для них они чаще были подтверждением того, что в некоторых случаях от самоотрицающихся высказываний нельзя отделаться, что иногда их приходится считать нормой правильного мышления. Поэтому указание Рудиным на то, что слова его собеседника приводят к противоречию, строго говоря, представляют собой настоящее опровержение именно и только для Пигасова, который не является гегельянцем и держится обычной (вплоть до наших дней) точки зрения на противоречие как на абсурд.

Так или иначе получается, что есть очень много причин заниматься изучением противоречия как объектом логической науки. Поэтому все чаще создаются логические системы, в которых противоречия являются вполне допустимой мыслью. Как говорит один из авторитетных исследователей современной логики Г.Х. фон Вригт, "... формальная логика традиционно имела дело с концептуальными построениями статического мира. Считалось обычным рассматривать высказывания как неизбежно истинными или ложными, а предметы - определенно обладающими или не обладающими данными свойствами"[ Г.Х. фон Вригт. Логико-философские исследования. М., 1986. С. 516.]. И далее показывает, что такой подход к истине очень часто оказывается несостоятельным. Даже если мы говорим, например, о дождливом дне, то чаще всего нельзя избежать взаимоисключающих утверждений, что дождь в этот день шел и что дождь в этот день не шел, потому что, как правило, он идет с перерывами. Разумеется, противоречия легко избежать, разбив день на отдельные временные промежутки. Но если мы хотим охарактеризовать весь день целиком (а это часто бывает необходимо), то тогда придется согласиться: имело место как то, так и другое. Созданная им самим паранепротиворечивая логика "обеспечивает возможность того, чтобы некоторое высказывание было одновременно истинным и ложным, а противоречие, соответственно, могло быть истинным"[ Там же. С. 569.].

Из других создателей паранепротиворечивых исчислений можно назвать польских логиков Я. Лукасевича (1878-1956) и С. Яськовского, бразильского логика и математика Ньютона да Косту.

У нас в России одним из создателей таких логических систем является Н.А. Васильев (1880-1940). Именно ему принадлежит утверждение, согласно которому мыслить противоречие, не порождая путаницы, можно, если только, назвав что-то противоречием, не отказываться в дальнейшем от такого представления в той или иной форме. Любая сказка, говорит он, включает в себя чудеса (каковые противоречат естественному причинно-следственному порядку вещей). Но она тем не менее понятна и по-своему логична, потому что никогда не называет одно явление один раз чудесным, другой раз - нечудесным. Назвав что-то чудом, в ней потом и дальше держатся такого представления о нем. Созданная Н.А. Васильевым воображаемая логика, как он ее называет, отказывается от запрета на противоречие и в соответствии с этим закон исключенного третьего тоже меняется на закон исключенного четвертого: мысль может быть истинной, ложной, противоречивой, а четвертого не дано.

При создании исчислений, в которых допускаются парадоксальные утверждения, стремятся к тому, чтобы запрет на противоречия был не отменен, а только ограничен, чтобы допуск противоречия не означал возможность все, что угодно, утверждать и все, что угодно, отрицать. Иными словами, надо, как говорят в таких случаях, заблокировать введенные антиномические высказывания, допустить их лишь в определенной строго "дозированной" мере, дабы не дать им приобрести разрушительную силу абсурда. Следует признать, что такая проблема относится к числу труднейших при создании паранепротиворечивых систем. Она, по сути дела, сводится к определению грани, за которой противоречие, отождествлявшееся до сих пор с нелепостью, может все-таки считаться допустимой мыслью.

В общей форме эта проблема пока еще далека от решения. Можно лишь предположить, что подход к ней надо искать на путях выделения разных типов противоречий. Дело в том, что среди парадоксов, которые по тем или иным причинам возникают с неизбежностью в логически правильном мышлении, видимо, существуют немало разновидностей, которые нельзя путать. Это отчетливо видно на примере, скажем, мнимой единицы. Нельзя было бы заменить "квадратный корень из отрицательной величины" на "круглый квадрат" или "беззвучную музыку", хотя и то, и другое, и третье выражается одной и той же формулой А и не-А. Точно так же, если мы признаем парадокс "Лжец" нормой для высказываний универсального характера, то это не будет, конечно, означать, будто тем самым предоставляется право делать из них вообще какие угодно утверждения и отрицания.

Собственно говоря, сейчас фактическое употребление таких парадоксальных понятий, как бесконечно малая величина, в том и состоит, чтобы сводить их каждый раз, когда они встречаются, к одной единой форме. Дело в том, что сама по себе такая величина не может быть вычислена, так как представляет собой бесконечный процесс и в этом смысле величиной не является. Поэтому к какому-то законченному определенному результату, работая с ней, можно прийти лишь тогда, когда она входит в состав двух разных выражений (при вычислении производных, где она и была введена, это два бесконечно малых приращения). В таком случае она сокращается при делении одного на другое, помогая установить соотношение между ними, и затем исчезает из рассмотрения. Но только перед этим надо показать, что и тут, и там она - одна и та же (иначе сокращение будет неправомерно). Доказательство этого чаще всего осуществляется через очень сложные математические преобразования. По сути дела, такую же роль выполняет в математике и мнимая единица. Следовательно, здесь проблема "блокировки" противоречий решается автоматически: одним только тем, что бесконечно малую величину, этот ноль и не ноль в одном и том же рассуждении, нельзя непосредственно приравнивать даже к иным бесконечно малым величинам, не говоря уже о прочих противоречиях. Видимо, то же самое будет иметь место и при всяком другом использовании понятий такого рода.

Уместнее поэтому говорить скорее о некоем законе сохранения противоречия в системе, которая его содержит. На это наталкивают самые простые соображения о противоречиях-ошибках: когда они допускаются, то обязательно дают о себе знать так или иначе, даже если остаются при этом скрытыми. То же самое, видимо, должно сохранять силу и для противоречащих высказываний. Мы можем, к примеру, мысль о балансе ввоза и вывоза продовольствия выразить в такой форме: оно ввозится и оно вывозится. Но тогда нам придется согласиться и с тем, что будут правомерными и такие формулировки: страна несет ущерб от реализации продовольствия и страна получает прибыль от реализации продовольствия, страна тратит дотации на другие страны (те, которые вывозят из нее дотируемую продукцию) и страна получает дотации от других стран (через дотируемую продукцию, ввозимую от других).

Правда, относительно ошибок могут возразить, что иногда все-таки бывает, что одна ошибка компенсируется другой. Однако это обстоятельство в принципе ничего еще не меняет в сделанном предположении о сохранении противоречия, потому что такая компенсация может рассматриваться как его ликвидация, достигаемая за счет соответствующих манипуляций с этим же противоречием, но оно может быть выраженным в другой форме и обнаруженным в другом месте. И допустимо это именно потому, что противоречие как бы "распространяется" по всей системе, выявляя себя, будучи единым, в той или иной форме в разных ее концах.