Численный расчет интегралов

Вычисление определенного интеграла исторически обусловлено задачей расчета площадей различных фигур. Согласно “теореме о среднем” определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке "x_i" этого отрезка:

_b f(x_i)

S = ò f(x)*dx =(b-a)*f(x_i); a <= x_i <= b,

^a

a x_i b

где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования.

Таким образом, определенный интеграл равен площади прямоугольника с основанием длиной "b-a" и высотой "f(x_i)". Здесь значение x_i, а значит и f(x_i) неизвестно. Однако, если отрезок интегрирования разбить на много малых отрезков "dx_i", в которых значение функции f(x_i) можно принять постоянным, то

_b

S = ò f(x)*dx = f(x₁)*dx₁ + f(x₂)*dx₂ + f(x₃)*dx₃ + ... + f(x_N)*dx_N;

^a

где dx₁ + dx₂ + dx₃ + . . . + dx_N = b - a;

Вычисление определенного интеграла по приведенной выше формуле называется численным интегрированием. Численное интегрирование применяют при решении различных задач, например: при определении площадей сложных геометрических фигур, определении работы сил, расчете длины траектории точки и в других случаях, когда подынтегральная функция "f(x)"задана по точкам, имеет сложное аналитическое выражение или ее первообразная не определяется аналитически. Сущность численных методов интегрирования состоит в различной замене (интерполяции) сложной подынтегральной функции на малых отрезках простой функцией, либо в представлении подынтегральной функции в виде сходящегося бесконечного ряда.

Рассмотрим методы численного интегрирования, основанные на интерполяции подынтегральной функции на малых отрезках равной длины различными видами функций: постоянной, линейной, квадратичной и кубической. Формулы численного интегрирования, получаемые при различных интерполяциях подынтегральной функции, называются квадратурными.

При равномерном разбиении отрезка [a, b] на "N" малых отрезков (интервалов) необходимо определять значения функции "f(x_i)" в "M" точках внутри отрезка [a, b].

Метод прямоугольниковоснован на интерполяции функции на малом отрезке постоянным значением. Кривую f(x) на каждом малом интервале "h" заменяют горизонтальной линией, пересекающей кривую в середине отрезка, при этом M=N. Интеграл вычисляется по формуле:

S₁ = f₁ * h; - на одном отрезке.

S =( f₁ + f₂ + ... + f_M )*h; - на M отрезках.

Здесьfi = f(xi); h = (b-a)/N; x_i = a - h/2 + h*i; i = 1, 2, . . . ,

Y Y Y Y

f (x) f (x) f (x) f(x)

a x₁ x₂ x₃ b X a x₁ x₂ b X a x₁ x₂ x₃ b X a x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b X

Метод трапеций состоит в том, что кривую f(x) на каждом малом интервале "h" заменяют отрезком прямой, соединяющим точки кривой f(x) на краях этого интервала, при этом M=N-1. Интеграл вычисляется по формуле:

S₁ =((f_a + f_b)/2)* h;- на одном отрезке.

S = ((f_a + f_b)/2 + f₁ + f₂ + ... + f_M )*h;- на N отрезках.

Здесь f_i = f(x_i); h = (b-a)/N; x_i = a + h*i;i = 1, 2, . . . , M.

Метод Симпсона основан на интерполяции функции на малом отрезке квадратичной параболой, проходящей через крайние и среднюю точки кривой f(x). При этом M=2*N-1, а интеграл вычисляется по формуле:

S₁ =((f_a + 4*f₁ + f_b)/3)* h- на одном отрезке.

S=(f_a+f_b+ 2*(f₂+f₄+...+f_M-2)+ 4*(f₁+f₃+...+f_M-1))*h/3; - на N отрезках.

Здесь f_i = f(x_i); h = (b-a)/(2*N); x_i = a + h*i; i = 1, 2, . . . , M.

Метод "трех восьмых" основан на интерполяции функции на малом отрезке кубической параболой, проходящей через крайние и две равноотстоящие по "x" точки кривой f(x). При этом M=3*N-1, а интеграл вычисляется по формуле:

S₁ =((f_a + 3*(f₁+f₂) + f_b)*3/8)* h- на одном отрезке.

S = (f_a+f_b+ 2*(f₃+f₆+...+f_M-3)+ 3*(f₁+f₂+...+f_M-1))*3*h/8; - на N отрезках.

Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/(3*N); xi = a + h*i; i = 1, 2, . . . , M.

Операторы для вычисления интеграла в этом случае имеют вид:

m:= 3*n-1; h:= (b-a)/(3*n); s:= f(a) + f(b);

for i:=1 to m do begin

x:= a+h*i; if i mod 3 = 0 then S:= S+2*f(x) else S:= S+3*f(x)

end;

S:= 3/8*S*h;

Отметим, что методы прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, формулы Симпсона и "трех восьмых" - для многочленов третьей степени.