Практическое задание N 2. 16

1. Построить траектории движения десяти пловцов, заканчивающих движение со скоростью V₂ = V₁ / N, где N - номер пловца. Ширина реки H=1000, м, скорость V₁=2, м/с, Vp=1, м/с.

2. Построить траектории движения спортсмена, прыгающего вертикально со скакалкой в поезде. Скорость движения поезда прямолинейна и постоянна Vp=20, м/с. Спортсмен отрывается от пола со скоростью V₁=5,м/с и до касания движется по закону: Y= V₁*t - 0. 5*g*t². Движения повторяются 10 раз с периодом t = 2*V₁/g, где g=9. 81, м/с².

3. Построить траектории движения шести точек на колесе радиусом R=0. 5, м, катящемся по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью V=0. 2, м/с. Траектория точки описывается уравнениями:

X = V*t - R₁*sin(fi); Y = -R₁*cos(fi);

где R₁= R +(N-3)*R/2 - радиус N -ой точки, N=1, . . . , 6;

fi= V*t/R, t - время движения 0<=t<=3*(2*Pi*R/V).

Динамика. В задачах динамики рассматривается движение тел под действием сил. Для определения характеристик движения (траектории, скорости и т. д. ) составляются дифференциальные уравнения движения, которые затем интегрируются, а также используются законы сохранения энергии или импульса.

Рассмотрим задачу столкновения двух шаров, движущихся со скоростью V₁ и V₂. Если центры масс соударяющихся тел находятся на общей нормали, проведенной в точку контакта, то удар называется центральным. Например, удар при столкновении двух шаров. При центральном ударе двух тел с идеально гладкой поверхностью справедлива гипотеза Ньютона: проекция скорости на нормаль к поверхности в точке контакта уменьшается после удара в "k" раз. Коэффициент восстановления "k" характеризует потери энергии на тепло при ударе и зависит от материала тел. Используя также закон сохранения импульса, получаем формулу расчета векторов скорости шаров W₁ и W₂ после удара:

W₁ = V₁ + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos(fi₁) + |V₂|*cos(fi₂))*n₁;

W₂ = V₂ + M₁*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos(fi₁) + |V₂|*cos(fi₂))*n₂;

Здесь fi₁ и fi₂ - углы между линией общей нормали и векторами скоростей V₁ и V₂ в момент удара.

n₁ и n₂ - векторы единичных нормалей к поверхности шаров в точке контакта.

|V₁| и |V₂| - модули векторов скоростей V₁ и V₂.

Рассмотрим случай построения плоской траектории при столкновении шара "1", движущегося со скоростью "V₁" с неподвижным шаром "2". В проекциях на оси скорость первого шара равна:

W₁x = V₁x + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*|V₁|*cos(fi₁)*n₁x;

W₁y = V₁y + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*|V₁|*cos(fi₁)*n₁y;

n₁

где n₁x=cos(-fi₁+Pi); n₁y=sin(-fi₁+Pi); Y

1

Аналогичный вид имеет формула для W₂x и W₂y, V₁

причем n₂x=cos(-fi₁); n₂y=sin(-fi₁); n₂

Практическое задание N 2. 17X

1. Пренебрегая размерами шаров построить траектории движения двух шаров до и после столкновения. Первый шар движется по горизонтали со скоростью |V₁|=10, м/с, а второй неподвижен (в центре экрана). Массы шаров равны: M₁ = 0. 1, M₂ = 0. 1. Угол fi₁ менять по зависимости: fi₁ = Pi*(5-i)/10, i=1, 2, . . . , 9. Коэффициент восстановления k=0, 55 - для стальных шаров, k=0, 89 - для шаров из слоновой кости.

Многие задачи динамики связаны с расчетом длины пути "L", например, при определении работы сил трения "At":

At = ò Kt*N*dL = Kt*N*L;

^(L)

Здесь Kt - коэффициент трения скольжения,

N - нормальная реакция поверхности (полагается постоянной).

Длина дуги плоской линии находится по формуле:

_{t1 B}

L= òÖ((dx/dt)2 + (dy/dt)2)dt; или L= òÖ(1 + (dy/dx)2)dx;

^{t2 A}

Здесь t - параметр, при задании вида кривой в параметрической форме.

Практическое задание N 2. 18Y

Y_L

1. Определить, длину пути точки, движущейся

в горизонтальной плоскости X0Y по траектории:

1) Эллипс y= Y_L*sin( t ); x= X_L*( 1+ cos( t ))/2; 0<=t<=Pi;

2) Парабола y=4*Y_L*x*(X_L-x)/X_L²; 0<=x<=X_L; 0<=y<=Y_L;

₄) Синусоида y=Y_L*sin(Pi*x/X_L); 0<=x<=X_L; 0<=y<=Y_L; 0 X_L X

Расчет интеграла провести двумя численными методами,

например, с использованием квадратурных формул Гаусса и по формуле Симпсона, для Y_L=10; X_L=15; Построить все траектории движения точки.

Оптика и свет

Геометрическая оптика. Задачи оптики связаны с графическими построениями падающих, преломленных и отраженных лучей.

Рассмотрим задачу построениятраектории преломленных и отраженных лучей при прохождении границы раздела двух прозрачных сред.Углом падения называют угол, образованный лучом и нормалью к поверхности в точке падения. Согласно закону отражения света угол падения луча равен углу отражения. Углом преломления называют угол, образованный лучом, прошедшим через границу раздела двух сред, и нормалью к поверхности в точке падения. Согласно закону преломления света проходящего из среды с показателем преломления n₁ в среду с показателем преломления n₂ зависимость между углом падения fi₁ и углом преломления fi₂ имеет вид:

Y n1 fi2   X fi1   n2 (X0, Y0)

sin(fi₂)/sin(fi₁)=n₁/n₂.

В случае расположения источника в более плотной среде n₁>n₂, при угле падения луча большем, чем fip=arcsin(n₂/n₁) происходит полное отражение луча. В случае расположения источника в менее плотной среде n₁<n₂ существует оптимальный угол падения луча fio=arctg(n₁/n₂) при котором потери отраженной и поглощенной энергии наименьшие.

Пусть источник света расположен в среде с n₁>n₂, а граница раздела сред проходит по оси "Х". Алгоритм построения траектории луча следующий:

1) Задаем координаты и угол выхода луча x₀, y₀, fi₁. Вычисляем fip с использованием формулы: arcsin(x)=arctg(x/Ö(1-x²)).

2) Определяем проекции падающего луча: fx₁=abs(y₀)*tg(fi₁); fy₁=abs(y₀); и строим вектор из т. (x₀, y₀) в т. (x₁=x₀+fx₁, y₁=0).

3) Если fi₁<fip, то вычисляем угол преломления fi₂, проекции преломленного луча: fx₂=abs(y₀)*tg(fi₂); fy₂=abs(y₀); и строим вектор из т. (x₁, y₁) в т. (x₂=x₁ + fx₂, y₂=fy₂).

4) Определяем проекции отраженного луча: fx₃=abs(y₀)*tg(fi₁); fy₃=-abs(y₀); и строим вектор из т. (x₁, y₁) в т. (x₃=x₁+fx₃, y₃=fy₃).

Рассмотрим задачу построения траекторий преломленных лучей, проходящих через прозрачную трехгранную призму. Известно, что луч белого цвета разлагается на составляющие цвета из-за разности коэффициента преломления для монохромных лучей, поскольку длина волны зависит от плотности среды.

Например, для стекла - тяжелый флинт: Y 4

2

3

Цвет Красный Желтый Зеленый Синий Фиолетовый

"n₂" 1, 644 1, 650 1, 66 1, 68 1, 685 1 n₁

n₂

0 X

Луч, выходящий из источника света под углом "al₁" к оси "Х" падает на первую грань призмы под углом "fi₁". Преломленный луч падает на вторую грань призмы под углом "fi₃" и выходит под углом "al₄" к оси "Х".

Алгоритм построения луча, проходящего через призму:

1) Строим призму при заданных углах "fp₁" , "fp₂" и высоте "h" треугольника,

2) Определяем точку "2": y₂=K*h; x₂= K*a₁; где 0<K<1; a₁=h/tg(fp₁);

3) Определяем точку "1": x₁=x₂-L*cos(al₁); y₁= y₂-L*sin(al₁); из которой в точку “2” проводим вектор заданной длины "L" под заданным углом al₁.

4) Определяем угол падения луча: fi₁=Pi/₂+al₁-fp₁; угол преломления луча: fi₂:=arcsin(sin(fi₁)*n₁/n₂) и угол наклона луча к оси "Х": al₂=al₁+fi₂-fi₁.

5) Решая совместно уравнение для луча и стороны треугольника, определяем точку "3": x₃= (x₂*tg(al₂)+a*tg(fp₂)-y₂)/(tg(al₂)+tg(fp₂)); y₃:= (a-x₃)*tg(fp₂); где a= a₁+a₂; a₂=h/tg(fp₂); к которой проводим из т. "2" вектор.

6) Определяем угол падения луча: fi₃= Pi/2-al₂-fp₂; угол преломления луча: fi₄:=arcsin(sin(fi₃)*n₂/n₁) и угол наклона луча к оси "Х": al₄=al₂+fi₃-fi₄.

7) Строим луч, выходящий из т. "3" в т. "4": x₄=x₃+L*cos(al₄); y₄=y₃+L*sin(al₄).

Рассмотрим задачу построения траектории лучей при отражении от параболического зеркала.Парабола описывается уравнением Y² = 2*P*X, где X - ось параболы. Фокус параболы находится в точке X_f = P/2, Y_f = 0. Приведем алгоритм построения отраженного луча, падающего на параболическое зеркало параллельно оси "X". Известно, что в этом случае отраженные лучи проходят через фокус.

1) В диапазоне 0<=X<=X_Max строим параболу Y = ± Ö (2*P*X).

2) Выбираем некоторую точку на параболе с координатами 0 < Xp < X_Max, Yp= Ö(2*P*Xp). 3) Строим падающий луч - вектор с началом в точке X₁=X_Max, Y₁=Yp и концом в точке Xp, Yp. Строим отраженный луч - вектор с началом в точке Xp, Yp и концом в точке Y₂=0, X₂=Xp-Yp/tg(2*fi). Где fi - угол наклона касательной к параболе в точке падения луча. Tg(fi)=P/Yp, Tg(2*fi)=2*Tg(fi)/(1-Tg²(fi)).

Y Y

(Xp,Yp) 2

* (X₁, Y₁) 1

(Y₂, X₂) X_max X

*

Рассмотрим задачу построения траектории лучей при отражении от цилиндрического зеркалав поперечном сечении. Пусть луч выходит из источника с координатами (r₁, f₁) под углом a₁ к оси "X". Радиус зеркала R. После отражения от поверхности в т. "2" луч приходит в т. "3". Обозначим b - угол падения луча в точке "2", f₂ - угол с осью "X" радиуса-вектора т. "2". Очевидно, что R*sin(f₂-a₁)=r₁*sin(f₁-a₁), b=f₂-a₁; - постоянная величина, f₃=f₂+2*b+Pi - рекуррентная зависимость. Для расчета координат в точке "i" запишем:

f_i = f_i-1 +2*b+Pi; x_i = R*cos(f_i); y_i = R*sin(f_i); i = 3, 4, . . .

Алгоритм расчета траектории лучаследующий:

1) Задаем R, r₁, f₁, a₁ и вычисляем x₁=r₁*cos(f₁), y₁=r₁*sin(f₁).

2) Рисуем окружность радиуса R и вычисляем f₂= a₁+ arcsin(r₁/R*sin(f₁-a₁)).

3) В цикле (до нажатия клавиши) вычисляем: x₂=R*cos(f₂), y₂=R*sin(f₂); рисуем вектор из т. "1" в т. "2" , присваиваем: x₁=x₂, y₁=y₂, f₂=f₂+2*b+Pi;