Вычисление площадей плоских фигур

Для этого надо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне.

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл.

3) Знать два правила:

-Определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

-Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных

функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Вспомним, что криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

На отрезке график функции расположен над осью, поэтому:

Ответ:

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью

Это пример для самостоятельного решения.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?