Вычисление площадей плоских фигур
Как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры.
Для этого надо:
1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне.
2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл.
3) Знать два правила:
-Определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
-Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных
функций и прямыми , , можно найти по формуле:
Вспомним, что криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:
Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.
То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):
На отрезке график функции расположен над осью, поэтому:
Ответ:
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью
Это пример для самостоятельного решения.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция расположенапод осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
Ответ:
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж.
А теперь формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Примеры для самостоятельного решения
Пример 5
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 493;