Касательные напряжения при изгибе


Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и каса­тельные напряжения, вызывающие деформации сдвига. В силу за­кона парности такие же касательные напряжения будут возникать и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. На­личие касательных напряжений в продольных сечениях подтверж­дается появлением в деревянных балках при поперечном изгибе продольных трещин.

Перейдем к выводу формулы для определения касательных на­пряжений при поперечном изгибе балок прямоугольного сечения. Эта формула была выведена в 1855 г. русским инженером-мосто­строителем Д.И.Журавским. Потребность в такой формуле была вызвана тем, что в XIX в. при строительстве мостов широко приме­нялись деревянные конструкции, а балки из древесины обычно имеют прямоугольное сечение и плохо работают на скалывание вдоль волокон.



AfH+dM,,

Эпюра Ми

 


Рис. 23.19


Рассмотрим балку прямоугольного сечения h (рис. 23.19). Пусть в поперечном сечении 1действует изгибающий момент Ми, а в сечении 2, отстоящем от первого на бесконечно близком расстоя­нии dz, — изгибающий момент Mu+ dMu. На расстоянии ух от нейтральной оси проведем продольное сечение ас и рассмотрим равно­весие элементарного параллелепипеда атпс, имеющего измерения

Равнодействующую нормальных внутренних сил, действующих на грань am, обозначим N1 а действующих на грань cn — N2; пере­менные нормальные напряжения в этих гранях обозначим соответ­ственно δ] и δ2.

В поперечном сечении балки выделим бесконечно узкую полос­ку dA, находящуюся на переменном расстоянии у от нейтральной оси, тогда

 

Предполагаем, что касательные напряжения в поперечном сече­нии прямоугольной балки параллельны поперечной силе Q и по ширине сечения распределены равномерно. Полагая, что в про­дольном сечении касательные напряжения α также распределены равномерно, определим касательную силу dF, действующую на гра­ни ас.

dF= xbdz.

Составим уравнение равновесия параллелепипеда атпс:

 

oткуда

 

или ,

 

 


обозначим через S, это статический момент заштрихованной площади Ау сечения относительно нейтральной оси; тогда

откуда

Так как согласно теореме Журавского то ).

Это равенство называется формулой Журавского.

Выведенная формула дает значение касательных напряжений в продольных сечениях, но по закону парности в точках поперечного сечения, лежащих на линии пересечения продольной и поперечной плоскостей, будут действовать одинаковые но модулю касательные напряжения.

Формула Журавского читается так: касательные напряжения в поперечном сечении балки равны, произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно нейтральной оси части се­чения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.

Определим закон распределения касательных напряжений для балки прямоугольного сечения (рис. 23.20). Для слоя волокон ad:

 

При

При

 

 



Таким образом, в верхнем и нижнем слоях волокон касательные напряжения равны нулю, а в волокнах нейтрального, слоя они дос­тигают максимального значения. Законы распределения касатель­ных напряжений по ширине и высоте прямоугольного сечения по­казаны


на рис. 23.20.

С некоторым приближением формулу Журавского можно при­менять для определения касательных напряжений в балках с попе­речными сечениями другой формы. Рассмотрим консольную балку корытного профиля, сечение которой показано на рис. 23.21, изги­баемую силой F на конце.

Плоскостью 1-1 отсечем часть полки площадью А. Так как из­гиб балки поперечный, то в плоскости 1—1 будут действовать про­дольные касательные силы и напряжения (см. рис. 23.19). По за­кону парности в поперечном сечении полки возникнут касатель­ные напряжения \х той же величины, и их можно определить но формуле Журавского:

где Q — поперечная сила в сечении балки; Sx — статический момент отсеченной площади A относительно оси х (нейтральная ось),

Sx = Ah1 /2; I — момент инерции всего сечения относительно нейт­ральной оси; t — толщина полки.

Если полка постоянной толщины, то касательные напряжения хх изменяются по линейному закону, тогда

 

Равнодействующая R1 касательных напряжений в верхней полке равна:

На нижнюю полку действует такая же сила R1, но направленная в противоположную сторо­ну. Две силы R1 образуют пару с моментом

Мк=R1h1

Следовательно, в сечении на­ряду с вертикальной попереч­ной силой Q =R2 возникает также крутящий момент Мк который скручивает балку; R2 — равнодействующая касательных напряже­ний в стенке балки.

Чтобы деформации кручения не было, внешнюю силу F следует приложить в какой-то точке В на расстоянии а от середины стенки и соблюсти условие Fa = Мk откуда

a=Mk/F

Такая точка В называется центром изгиба. Если сечение балки имеет две oси симметрии, то центр изгиба совпадает с цент­ром тяжести сечения.

Без вывода приведем формулу для определения максимальных касательных напряжений у балки круглого сечения:

Касательные напряжения в балках соответствуют деформации сдвига, в результате чего плоские поперечные сечения при попе­речном изгибе не остаются плоскими, как при чистом изгибе, а ис­кривляются (рис. 23.22).

Большинство балок рассчитывают только по нормальным на­пряжениям; три вида балок следует проверять по касательным на­пряжениям, а именно: деревянные балки, так как древесина плохо работает на скалывание; узкие балки (например, двутавровые), так как максимальные касательные напряжения обратно пропорцио­нальны ширине нейтрального слоя; короткие балки, так как при от­носительно небольших изгибающем моменте и нормальных напря­жениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.

Максимальное касательное напряжение в двутавровом сечении определяется по формуле Журавского. В таблицах сортамента при­ведены значения статического момента площади полусечения для двутавров и швеллеров.

Пример 23.7.Консольная балка, жестко защемленная одним концом в заделке, состоит из двух деревянных брусьев квадратного сечения, соеди­ненных на другом конце болтом (рис. 23.23). К свободному концу балки приложена сила R=15 кН. Длина балки l = 2 м. Определить диаметр стержня болта, если допускаемое напряжение среза МПа. Размер сечения брусьев а= 20 см.

Решение. Во всех поперечных сечениях балки кроме изгибающего момента возникает поперечная сила Q= R= 15 кН и соответствующие ей касательные напряжения сдвига, определяемые по формуле Журавского, причем максимальные напряжения возникают на нейтральной оси, т.е. в месте соприкосновения брусьев.

По закону парности такие же касательные напряжения возникают и в продольных сечениях балки. Тогда



где — поперечная сила ; S — статический момент площади полусечения балки относительно нейтральной оси, ; I — момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; I= а(2а)3/12= 2а4/3; b — ширина сечения, b = а.

Подставив эти выражения в формулу Журавского, получим:

Xmax=3Q/(4a2)

Подставляя числовые значения и учитывая размерности, найдем

Сила сдвига F= Xmax Aсд, где Aсд— площадь сдвига, Асд=а1.

Вычислим F:

Сила F, действующая на стыке балок, стремится срезать болт. Найдем необходимый диаметр d стержня болта из расчета его на срез:

где Аср — площадь среза, равная площади поперечного сечения стержня болта, Aср = nd2 /4.

Подставляя это выражение в расчетную формулу, получим

 

Подставим числовые значения:

 

 

Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 450;

Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.016 сек.