Нормальные напряжения при чистом изгибе

Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растя­жения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по по­перечному сечению решается путем рассмотрения деформаций во­локон балки.

Рассмотрим участок балки, подверженный деформации чистого изгиба. Двумя поперечными сечениями АВ и CD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds (рис. 23.12). Радиус кривизны нейтрального слоя обозначим р.

Рассмотрим слой волокон тп, находящийся на расстоянии у от нейтрального слоя NN. Это волокно в результате деформации изги­ба удлинилось на величину nn₁ Ввиду малости расстояния ds за­штрихованные треугольники будем считать прямолинейными; эти треугольники подобны (п₁F | | тЕ):

Из подобия треугольников запишем равенство:

Так как левая часть этого равенства есть относительное удлине­ние, т.е.

Применив закон Гука при растяжении и сжатии δ = Еε, получим

Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изги­бе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, найболее удаленных от ней­тральной оси. По ширине сечения нормальные напряжения не ме­няются. Распределение нормальных напряжений изображено на

рис. 23.13.

Полученная формула для оп­ределения нормальных напря­жений неудобна, так как в нее входит радиус кривизны ней­трального слоя. Для вывода формулы, связывающей нор­мальные напряжения с изгибаю­щим моментом, применим ме­тод сечений и рассмотрим рав­новесие части балки, изобра­женной на рис. 23.14.

В плоскости поперечного се­чения выделим бесконечно малую площадку dA, в пределах которой будем считать нормальные напряжения а постоянными; тогда нормальная сила dN, действую­щая на площадку dА, будет равна .

Рис. 23.13

23.14

Составим два уравнения равновесия:

или

(р для данного сечения есть величина постоянная, поэтому она вы­несена за знак интеграла). Так как Е и р не равны нулю, то

Этот интеграл представляет собой статический момент площа­ди сечения относительно оси х, т.е. нейтральной оси. Равенство ну­лю статического момента означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения;

2) ,

Так как при чистом изгибе изгибающий момент равен внешнему моменту М_и = т, то

oткуда

Где I = - момент инерции поперечного сечения относительно

нейтральной оси; EI— жесткость сечения при изгибе.

Так как при чистом изгибе балки постоянного сечения , то

Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности.

Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для опре­деления нормальных напряжений; тогда

Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:

где - момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).

Момент сопротивления изгибу есть отношение осе­вого момента инерции поперечного сечения относительно ней­тральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного во­локна.

Единица момента сопротивления сечения изгибу [W] = м³. Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вы­числяем по формуле

Обратим внимание на то обстоятельство, что эта формула по структуре аналогична формулам для определения напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.