Свойства определенного интеграла

1) При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

= -

2) Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

= 0

3) Отрезок интегрирования можно разбить на части:

= +

4) Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов

5) Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.

Пример. Вычислить определенный интеграл

Применяя формулу Ньютона-Лейбница и свойства определенного интеграла, получим:

= = - = 19,5

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t). Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям: