Понятие определенного интеграла
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y
M
m
0 a xi b x
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.
[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.
Составим суммы:
n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =
n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =
Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.
Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.
x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, … , xn-1 < e < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =
Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi
Следовательно, ,
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.
Если , то
Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначается: , где
а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке D, а числа a и b принадлежат этому промежутку.
Приращение F(b) – F(a) любых из первообразных функций F(x) + С при изменении аргумента от х=а до х=b называется определенным интегралом от функции f.
Вычисляется определенный интеграл по формуле Ньютона – Лейбница:
= F(b) – F(a)
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 447;