Примеры действия законов сохранения. Удар шаров

1. Абсолютно неупругое соударение. В качестве иллюстрации использования законов сохранения импульса и энергии для решения задачрассмотрим соударение двух шаров.

При абсолютно неупругом соударении тела после соударения остаются в деформированном состоянии и слипаются. (Например, два пластилиновых куска). Ограничимся случаем центрального удара шаров, когда их центры масс движутся вдоль одной прямой (рис.41).

При неупругой деформации тел часть их механической энергии превращается во внутреннюю энергию, в результате закон сохранения механической энергии не выполняется. Выполняется только закон сохранения импульса. Сумма импульсов до удара равна сумме импульсов после удара.

. (19.1)

Из уравнения сохранения импульса можно найти любую из неизвестных величин. Например, скорость соединившихся после удара шаров: . (19.2)

Если шары двигаются в разные стороны или друг за другом так, что соударения не происходит, то и в этом случае формула (19.2) определяет скорость v движения центра масс системы из двух шаров. Если импульсы сближающихся шаров одинаковы, то их скорость после удара обращается в нуль (проекции импульсов шаров до удара одинаковы по величине, но противоположны по знаку). В этом случае вся кинетическая энергия шаров расходуется на их деформацию и превращается в тепло.

Если импульсы сближающихся шаров неодинаковы, то после удара соединившиеся шары будут двигаться в ту или иную сторону со скоростью v. В этом случае не вся кинетическая энергия шаров будет "исчезать", а только часть её.

Чтобы определить количество кинетической энергии, превратившейся в результате абсолютно неупругого удара в другие формы немеханической энергии (например, в тепло – при соударении макротел, в энергию излучения – при соударении элементарных частиц, и т.д.), удобно использовать систему отсчета, связанную с центром масс соударяющихся тел.

В такой системе отсчета тела после соударения покоятся. Значит, вся кинетическая энергия, которой обладали в этой системе тела до соударения, превращается в немеханические формы. Поэтому задача сводится к тому, чтобы определить скорость тел до соударения в системе центра масс.

Для этого достаточно из скоростей v₀₁ и v₀₂ вычесть скорость (19.2) движения центра масс v (преобразования Галилея для скоростей). Обозначим скорости шаров в системе центра масс v_C1 и v_C2. . (19.3)

. (19.4)

Подставив эти скорости в формулу кинетической энергии, получаем:

E_К1 = ; E_К2 = . (19.5)

E_К2 + E_К1 = ; . (19.6)

2. Абсолютно упругое соударение. Это другой предельный случай, когда механическая энергия системы тел полностью сохраняется. После удара тела расходятся, поэтому задача усложняется тем, что определять нужно скорость движения не одного, а двух тел. Поэтому приходится использовать оба закона сохранения.

Сохранение импульса: . (19.7)

Сохранение механической энергии: . (19.8)

Сгруппируем члены обоих уравнений по массам шаров m₁ и m₂.

(19.9)

Второе уравнение можно развернуть ещё так: .

Разделив это уравнение на 1-е, получаем вспомогательное выражение, с помощью которого найдем скорости v₁ и v₂: . (19.10)

Умножим уравнение (19.9) на m₂ и вычтем результат почленно из 1-го уравнения системы (19.8): . (19.11)

Умножим уравнение (19.10) на m₁ и сложим с 1-м уравнением системы (19.9).

. (19.12)

Рассмотрим частные случаи.

а. Сталкиваются шары равных масс, m₁ = m₂ = m. В этом случае

v₁ = v₀₂ , v₂ = v₀₁ , шары обмениваются скоростями. (19.13)

б. Соударение шара со стенкой. Пусть m₂ – масса стенки, полагаем m₂ >> m₁ . В этом случае v₂ = v₀₂ – скорость движения стенки, практически не изменяющаяся при ударе.

. (19.14)

Итак, скорость упруго ударившегося о стенку шара изменяется по величине на удвоенную скорость стенки. Этот вывод позволяет объяснить изменение температуры газа при его сжатии или расширении.

Если газ расширяется, например, поршень выходит из цилиндра, в котором находится газ, то молекулы ударяются с "убегающим" поршнем. Скорости молекул уменьшаются по величине на удвоенную скорость поршня. Средняя кинетическая энергии молекул газа падает, его температура снижается.

При сжатии все происходит наоборот. Скорость молекул, сталкивающихся с приближающимся поршнем, увеличивается, температура газа растет.