Введение нового материала.

Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

Прочитайте выражения: (х +2у)², (а- b)³, (c - d)²

(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; квадрат разности двух выражений с и d.)

Что общего в заданных выражениях?

(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?

Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы

(х +2у)² = х² +4ху + 4у²

(а - 2)³ = а³ - 3а² 2 +3а 2² - 2³= а³ - 6а²+12а -8.

Введение нового материала.

Бином Ньютона - это отношение, позволяющая представить выражение (a + b)ⁿ (n ∈ Z+) в виде многочлена.

С помощью следующей таблицы можно определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени. Строится он следующим образом - любое число образуется суммой рядом стоящих чисел над ним. Именно потому эта таблица имеет название треугольник Паскаля.

Слева указана степень n, справа значения соответствующих биномиальных коэффициентов.

· Что означают коэффициенты перед слагаемыми?

· Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С , где n - степень двучлена, m - степень второго выражения.

Степень одного из множителей в одночленах с³а или са³ равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С = = =4, что подтверждается вашими вычислениями.

Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с²а² : С = = =6, что также верно.

Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С = С = 1.

Объединим ваши замечания в следующие правила:

1. Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

2. Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

3. Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

4. Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

5. Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С , где n - степень двучлена , m - переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

А теперь запишем формулу бинома Ньютона - формулу представления степени двучлена в многочлен.

Определение:

Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство

Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С - биномиальными коэффициентами.

Запишем пример, используя бином Ньютона:

(х -2)⁵ = С х⁵ + С х⁴(-2)¹ + С х³ (-2)² + С х² (-2)³ +С х¹ (-2)⁴ +С (-2)⁵=

Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:

С = С =1; С = С = =5; С = С = = =10.)

=х⁵ -5 х⁴ 2+ 10х³ 2² - 10х² 2³ +5х 2⁴-2⁵= х⁵ -10х⁴ + 40х³ - 80х² +80х -32.

Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.