Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

Мы уже видели, что из непрерывности членов сходящейся функциональной последовательности, вообще говоря, не следует непрерывность предельной функции. Аналогично, ни интегрируемость, ни дифференцируемость членов сходящегося ряда не переносится автоматически на сумму ряда. Следующие три теоремы – о функциональных свойствах предельной функции (и суммы ряда).

Теорема. Пусть функции непрерывны на множестве и пусть на . Тогда функция также непрерывна на .

Доказательство. Требуется доказать, что функция непрерывна в точке , т.е. . Зафиксируем произвольное . Ввиду равномерной сходимости последовательности . В частности, в точке , . По условию, при любом функция непрерывна. Значит, . При выбранных и имеем: , что и требовалось доказать.

Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются непрерывными функциями, есть непрерывная функция.

Для доказательства следует применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда.

Приведем без доказательства две теоремы.

Теорема.(Почленное интегрирование ряда). Пусть ряд равномерно сходится к своей сумме на отрезке и все (т.е. непрерывны на отрезке ). Тогда для .

Замечание. Для функциональных последовательностей эта теорема формулируется следующим образом: Пусть на и пусть . Тогда .

Теорема. (Почленное дифференцирование ряда).

Пусть

1. ;

2. Ряд сходится на хотя бы в одной точке;

3. Ряд равномерно сходится на .

Тогда ряд сходится на равномерно к функции и . Иными словами, .

Замечание. Соответствующая теорема для последовательностей может быть сформулирована так: Пусть . Пусть , , а , . Тогда , или .