Member; // очередной член ряда

printf ("Input value of argument:");

scanf("%lf",&x);

printf ("\nInput precision:");

scanf("%lf",&eps);

for (i=2, member=x; fabs(member)>eps; i++) // проверка точности

{

res = res + member; // добавление в сумму нового члена ряда

member = member*x/i; // вычисление следующего члена ряда

}

printf ("\ny= %.40lf\nprecision: %.40lf\n",res,member);

printf ("number of series members: %u\n",i);

getch();

}

5. Методы нахождения корней уравнения: половинного деления, хорд, касательных, простой итерации.

Пусть задано уравнение вида f(x)=0, и известно, что на отрезке [a,b] оно имеет один корень, т.е. в точках a и b значения функции имеют разные знаки.

Если |a-b|<ε, где ε – требуемая точность вычислений, то любое значение x из заданного интервала (например, a) можно считать искомым корнем. Иначе в качестве приближения корня возьмем середину отрезка x_i=(a+b)/2. Если значение функции f(x_i)=0, то решение найдено. Иначе выбираем тот из отрезков ([a,x_i],[x_i,b]), на концах которого значения функций имеют разные знаки, и следующий шаг алгоритма реализуем относительно этого отрезка.

Указанный алгоритм известен в литературе как метод половинного деления.

Заменим теперь исходное уравнение f(x)=0 на равносильное ему уравнение вида x=φ(x). Пусть на отрезке [a,b]оно содержит только один корень. Выберем в качестве первого приближения некоторое x_i . Последующие приближения получаем по формуле x_i+1=φ(x_i). Если данная последовательность сходится, то она сходится к корню уравнения.

Описанный алгоритм носит название метода простой итерации.

Пусть функция имеет на отрезке один корень. Точки A и B имеют координаты A(a,f(a)) и B(b,f(b). Искомым корнем будет абсцисса c точки пересечения графика с Ox. Вместо нее ищется точка пересечения хорды AB с Ox.

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B, записывается в виде:

Первое приближение x₁ получаем подстановкой y=0:

или или

Последующие приближения будем вычислять по формулам

При этом, если f(x_i)*f(b)<0 (т.е. f(x_i) и f(b) разных знаков) то последующие приближения вычисляются по формуле (1), иначе – по формуле (2).

Если на отрезке [a,b] существует первая и вторая производные указанной функции, сохраняющие постоянный знак, то последовательность x_i монотонно сходится к корню уравнения f(x)=0.

Рассмотренный алгоритм представляет известный метод хорд.

Немного иначе устроен метод касательных. В этом случае приближение осуществляется на основе замены дуги касательной, проведенной к одной из крайних точек.

Итерационная формула описывается как:

Если на отрезке [a,b] f’(x)*f’’(x)>0 , то нулевое приближение корня – это значение x₀=b, иначе x₀=a.

Пусть у нас задана функция y=x²-3. При x=1 – y=-2, а при x=2 – y=1. Это как раз наш случай – на интервале [1,2] – есть корень. Программа, реализующая поиск корня по методу касательных, может выглядеть так:

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

//////////////////////// Вычисление функции

double func(double x) { return (x*x - 3.0); }

//////////////////////// Вычисление производной функции

double derfunc(double x) { return (2*x); }

////////////////////////////////// Реализация метода касательных

int newton(double (*f)(double), // Функция

double (*f1)(double), // Производная функция