Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
Функциональные последовательности и ряды.
Определение. Будем говорить, что на множестве задана функциональная последовательность
, если указано правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие функция, определенная на множестве
.
Определение. Функциональная последовательность сходится в точке
, если существует предел числовой последовательности
:
.
Определение*. Функциональная последовательность сходитсяк предельной функции
на множестве
, если она сходится в каждой точке этого множества, т.е.
.
Определение. Пусть на множестве задана функциональная последовательность
. Выражение вида
называется функциональным рядом.
Определение. Функциональный ряд сходится на множестве
, если сходится последовательность его частичных сумм на
, т.е.
.
Пример. Пусть ,
. Тогда при
имеем:
. Если
, то
и
. Таким образом, последовательность
сходится к предельной функции
.
В этом примере предел последовательности непрерывных функций оказался разрывной функцией. Значит, непрерывность членов сходящейся на множестве последовательности непрерывных функций не гарантирует непрерывности предельной функции. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим более сильное понятие - понятие равномерной сходимости.
Определение. Последовательность равномерно сходится к
на множестве
, если
. Это обозначается так:
на
при
.
Отличие этого определения от определения* сходимости последовательности в том, что неравенство при
должно выполняться сразу для всех
.
Равномерная сходимость функционального ряда – это равномерная сходимость последовательности его частичных сумм к сумме ряда
на
. Это равносильно тому, что
на
при
, т.е. остаток
на
.
Приведем без доказательства критерий Коши равномерной сходимости последовательности.
Теорема. Последовательность равномерно сходится к
на множестве
, тогда и только тогда, когда
.
Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
Теорема. Ряд равномерно сходится на множестве
, тогда и только тогда, когда
.
Из критерия Коши следуют две теоремы – необходимое условие и достаточный признак равномерной сходимости ряда.
Теорема. (Необходимое условие сходимости ряда). Ряд равномерно сходится на множестве
только тогда, когда
.
Действительно, полагая в критерии Коши , получим:
, т.е.
.
Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть выполняется неравенство
и пусть числовой ряд
сходится. Тогда ряд
сходится на множестве
абсолютно и равномерно.
Доказательство. Достаточно проверить, что при условиях теоремы выполняется . Но при любом
, при любых
и
верно неравенство
.
А для ряда с положительными членами выполняется необходимое условие Коши:
.
Ряд принято называть мажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда
, а признак Вейерштрасса называют мажорантным признаком.
Пример 1. Ряд равномерно (и абсолютно) сходится на
. Действительно, при
имеет место оценка
, а ряд
сходится.
Пример 2. равномерно и абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к. для всех
, а ряд
сходится.
Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 550;