Теорема Вариньона для плоской системы сил

Если система сил, расположенных как угодно в плоскости приво­дится к одной равнодействующей , то момент равнодействующей относительно произвольной точки плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим систему двух сил и , равнодействующая которых определяется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис.4.4,а). Возьмем произ­вольную точку 0 плоскости и приложим к ней взаимно уравновешиваю­щиеся силы и , равные по модулю и параллельные равнодействующей .

Рис.4.4

Сила является равнодействующей заданных сил, перенесенной в точку О, а силы и образуют присоединенную пару ( , ), момент которой равен сумме моментов составляющих пар: ( , ) и ( , ), где и являются составляющими силы . Онисоответ­ственно параллельны заданным силам и . Следовательно:

m( , ) = m ( , ) + m ( , )

Учитывая, что m( , ) = m₀( ); m ( , ) = m₀( ) и m ( , ) = m₀( ), получаем:

m₀( ) = m₀( ) + m₀( ) (4.8)

Обобщая приведенное доказательство на случай произвольного числа сил, приводящихся к одной равнодействующей , приходим к равенству:

(4.9)

Выражение (4.9) является математической интерпретацией (представлением) теоремы Вариньона.

4.6. Графический способ сложения системы сил, распо­ложенных в одной плоскости. Условия равновесия

В предыдущих параграфах настоящей главы рассмотрены теоремы о приведении плоской системы сил к заданному центру. В результа­те получены векторное выражение для определения главного вектора и алгебраическое выражение для определения главного момента, т.е. выражения (4.3) и (4.4).

Покажем, что модуль, направление и линия действия равнодейст­вующей плоской системы сил могут быть определены графическим спо­собом, т.е. путем построения силового и веревочного многоугольни­ков. Этот способ предложен Кульманом и называется способом "вере­вочного многоугольника".

Рис.4.5

Пусть заданы три силы , и , приложенные к телу в точ­ках А, В, С соответственно и расположенные в одной плоскости (рис.4.5,а). Найдем величину и направление равнодействующей за­данных сил. Для этого зададимся подходящим масштабом сил и построим силовой многоугольник аbcd (рис.4.5,б) в следующем порядке: из произвольной точки а плоскости действия сил откладываем отре­зок аb геометрически равный силе , из полученной точки b откладываем в том же масштабе отрезок bc геометрически равный силе , затем откладываем отрезок cd геометрически равный силе . Замыкающий вектор аd силового многоугольника, проведенный из начала первой силы в конец последней представляет равнодействующую трех заданных сил. Модуль равнодействующей определяется измерением отрезка ad в принятом масштабе сил, т.е. . Направление равнодействующей должно быть противоположным направлениям сторон силового многоугольника, геометрически равных заданным силам.

Построенный многоугольник аbcd называется планом сил и дает возможность определить величину и направление равнодействующей .

Остается найти точку приложения равнодействующей. Для этого необходимо построить веревочный многоугольник. Возьмем произволь­ную точку О вблизи плана сил (рис.4.5,б) и соединим её с вершинами многоугольника сил аbcd . Точка О называется полюсом, а прямые Оа, Ob, Ос, Оd - лучами многоугольника сил. Обозначим их буквами , , , и обратим внимание на то, что каждая сторона (си­ла) многоугольника аbcd, включая равнодействующую , располо­жена между двумя лучами (рис.4.5,б). Например, сила , заключена между лучами и .

Обратимся теперь к рис.4.5,а и проведем через произвольную точку А₁ взятую на линии действия силы ,, прямые I и 2, соответствен­но параллельные лучам и . Продолжим прямую 2 до пересечения с линией действия силы точке B₁ и проведем из этой точки пря­мую 3 параллельную лучу до пересечения с линией действия силы в точке C₁. Через точку С₁ проводим прямую 4 параллельную лучу . Продолжим затем прямые I и 4 до их пересечения в точке D₁. В резуль­тате получим многоугольник А₁В₁С₁D₁, называемый веревочным много­угольником. Его стороны соответственно параллельны лучам силового многоугольника (плана сил).

Опуская доказательство, укажем, что линия действия равнодейст­вующей проходит через точку D₁, а её точка приложения может быть выбрана произвольно на её линии действия. Используя изложенный выше способ, можно определить равнодействующую произвольного числа сил, расположенных в одной плоскости.

При определении равнодействующей системы сил графическим спо­собом может оказаться, что силовой и веревочный многоугольники замкнуты. В этом случае равнодействующая заданных сил равна нулю, т.е. заданные силы находятся в равновесии.