Максимум и минимум функции

Определение.Точка х₀ называется точкой максимума(точкой минимума) функции , если существует такая δ-окрестность точки х₀, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Рисунок 1. – Точка максимума.	Рисунок 2. – Точка минимума.

Определение.Значение функции в точке максимума (точке минимума) называется максимумом (минимумом) функции.

Определение. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема(необходимое условие экстремума – НУЭ).

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю: .

Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.

Обратная теорема неверна, т. е. если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функция точке равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не экстремум.

Замечание. Непрерывная функция может иметь экстремум только в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Теорема(достаточное условие экстремума – ДУЭ-1).

Если непрерывная функция у=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ (за исключением, быть может, самой точки х₀) и при переходе через нее слева направо производная f ¢ (x) меняет знак с «+» на «–», то х₀ есть точка максимума, а с «–» на «+», то х₀ – точка минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем НУЭ и ДУЭ-1 вытекает следующая схема исследования функции на экстремумы: