Применение производной при вычислении пределов

Соотношения вида и принято относить к разряду неопределенностей при вычислении пределов.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей и , который основан на применении производных.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а и обращаются в нуль в этой точке: f(a)=g(a)=0. Пусть в окрестности точки а. Если существует предел , то .

Иначе: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Пример 1. Найти предел .

Решение: как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

.

Пример 2.Найти предел .

Решение:

.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а, в этой окрестности , . Если существует предел , то .

Пример 3.Найти предел .

Решение:

Замечание. Если при вычислении предела по правилу Лопиталя вновь получается неопределенность или , то данное правило может быть применено еще раз. Это возможно только в том случае, если вновь полученные функции удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример 4. Найти предел .

Решение:

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и , которые называются основными. Неопределенности вида , , , сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1. Пусть , при . Тогда очевидны следующие преобразования:

или .

Пример 5. Вычислить предел .

Решение:

.

2. Пусть или и , или и , или и при . Для нахождения предела вида удобно сначала прологарифмировать выражение А = .

Пример 6. Вычислить предел .

Решение: имеем неопределенность вида . Логарифмируем выражение , получим: . Затем находим предел:

,

т.е. . Отсюда и .

Пример 7.Вычислить предел .

Решение: имеем неопределенность вида . Логарифмируем выражение , получим: . Затем находим предел:

,

т.е. . Отсюда , и .