Основы алгебры логики
В теории переключательных функций доказано, что любую логическую функцию можно реализовать с помощью лишь трех элементарных логических функций:
· логического отрицания (инверсии) – функции НЕ;
· логического сложения (дизъюнкции) – функции ИЛИ;
· логического умножения (конъюнкции) – функции И.
Аппаратно эти функции реализуются в виде цифровых схем – логических элементов. Ниже приведены словесные описания, таблицы истинности, алгебраическая форма записи элементарных функций и условные графические изображения соответствующих логических элементов (для простоты приведены функции ИЛИ, И двух аргументов, хотя реально число аргументов может быть и больше).
Функция НЕ
Алгебраическая форма: | |
Словесное описание: | «Y есть не Х» |
Таблица истинности: | |
Условное графическое изображение: |
Аппаратно элемент НЕ реализуется в виде инвертора – усилительного каскада, работающего в ключевом режиме (рис. 2.2).
а б в
Рис. 2.2. Схема простейшего инвертора (а);
состояние высокого выходного уровня (б);
состояние низкого выходного уровня (в)
Функция ИЛИ
Алгебраическая форма: | y = x1 + x2 + ... |
Словесное описание: | «y есть х1, или х2, или ...» |
Таблица истинности: | |
Условное графическое изображение: |
Функция ИЛИ принимает значение 1, если хотя бы один аргумент равен 1. Аппаратно элемент ИЛИ может быть реализован на пассивных ключевых элементах (рис. 2.3).
а б
в
Рис. 2.3. Схема элемента ИЛИ (а);
состояние высокого выходного уровня;
высокий уровень хотя бы на одном входе (б);
состояние низкого выходного уровня (в)
Функция И
Алгебраическая форма: | y = x1^x2^...= x1×x2×... |
Словесное описание: | «y есть х1, и х2, и ...» |
Таблица истинности: | |
Условное графическое изображение: |
Функция И принимает значение 0, если хотя бы один аргумент равен 0. Элемент И также может быть реализован на пассивных элементах (рис. 2.4).
а б в
Рис. 2.4. Схема элемента И (а);
состояние низкого выходного уровня;
низкий уровень хотя бы на одном входе (б);
состояние высокого выходного уровня (в)
Ниже приводятся простейшие правила и теоремы алгебры логики (доказываемые путем подстановки).
Правила сложения: | |
Правила умножения: | |
Закон двойного отрицания: | |
Теорема де Моргана (справедлива при любом числе аргументов): | , |
Закон поглощения: | |
Закон склеивания: |
Кроме того, для логических переменных справедливы законы, аналогичные обычной алгебре (за исключением распределительного).
Переместительный закон: | |
Сочетательный закон: | |
Распределительный закон: |
Дата добавления: 2016-06-22; просмотров: 1803;