Найти численное значение уровня Ферми меди при абсолютном нуле

Пример 1. Найти численное значение уровня Ферми меди при абсолютном нуле, учитывая, что на каждый атом меди в кристалле имеется один электрон проводимости (свободный электрон) и что эффективная масса электронов m* приблизительно равна массе свободных электронов (плотность меди r = 8900 кг/м³; молярная масса m = 63,5 г/моль).

РЕШЕНИЕ.

Найдем связь количества электронов проводимости с уровнем Ферми. Число электронов проводимости в металле может быть найдено с учетом формулы

где функция распределения Ферми-Дирака.

При Т = 0 f(E) = 1, если E<E_F и f(E) = 0, если E>E_F.

Плотность разрешенных квантовых состояний электронов внутри энергетической зоны

где V - объем кристалла; m - масса электрона; E - энергия электрона и h - постоянная Планка.

Число электронов проводимости равно

Отсюда находим концентрацию электронов проводимости в металле

и энергию Ферми

По условию задачи концентрация свободных электронов в меди равна концентрации атомов меди где V_m - объем моля меди, N_A - число Авогадро.

Подставляя в формулу значения N_A, r и m, получаем концентрацию электронов проводимости

и энергию уровня Ферми

ОТВЕТ: 7 эВ.

Пример 2. Вычислить среднее значение кинетической энергии электронов в меди при абсолютном нуле, если уровень Ферми для меди равен 7 эВ.

РЕШЕНИЕ.

Найдем суммарную кинетическую энергию всех электронов в металле, воспользовавшись формулой для распределения Ферми по энергиям для свободных электронов. Число электронов, приходящихся на единичный интервал энергии:

Суммарное число электронов на всех уровнях в единице объема:

Полная энергия электронного газа:

Среднее значение кинетической энергии электронов:

Подставим численное значение

ОТВЕТ: 6,7×10^-19 Дж.

Пример 3: Какова вероятность того, что электрон в металле будет иметь энергию равную энергии Ферми?

РЕШЕНИЕ:

При Е = m функция Ферми-Дирака

Вероятность нахождения электрона на уровне Ферми равна 0,5.

ОТВЕТ: 0,5.