Базис. Декартов базис.

Определение 8. Упорядоченная система векторов называется базисом п-мерного пространства , если:

1. система линейно независима,

2. любой вектор пространства может быть выражен в виде линейной комбинации векторов .

Т.е., если − базис, то .

При этом сумма называется разложением вектора по базису . Коэффициенты разложения, числа называются координатами вектора в базисе . Обозначение: .

Замечание. В пространстве геометрических векторов любые п линейно независимых, упорядоченных векторов можно назвать базисом.

Пример.

В базисе даны векторы , , , . Разложить вектор по трем некомпланарным векторам .

Решение.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам запишем так: . (*)

Запишем векторы в координатной форме:

.

Тогда равенство (*) можно записать в матричном виде:

, что соответствует системе уравнений

, решая которую, получим

Т.о., коэффициенты разложения равны: .

Ответ: .

Определение 9. Базис называется ортогональным, если он образован взаимно перпендикулярными (ортогональными) векторами.

Определение 10. Базис называется нормированным, если он образован векторами единичной длины.

Определение 11. Базис называется ортонормированным, если он образован взаимно перпендикулярными векторами единичной длины.

Примером ортонормированного базиса служит базис, соответствующий декартовой системе координат – декартов базис.

Декартов базис.

В пространстве имеем:

− базисные орты, т.е., векторы единичной длины, сонаправленные координатным осям соответственно.

.

Любой вектор в декартовом базисе можно записать так .

В пространстве имеем:

− базисные орты, сонаправленные координатным осям соответственно.

.

Любой вектор в декартовом базисе можно записать так .

Длина вектора .

Пример.

Найти длину вектора .

Решение.

.

Ответ: .