Математическое дисконтирование.

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i ? Решив (1) относительно P находим

P=S/(1+n_*i) (1.10)

Напомним, что n=t/К — срок ссуды в годах.

Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным или дисконтирующим множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме. В математике финансов дисконтом является величина, вычитаемая из суммы погашения обязательства, когда обязательство принимается до даты его погашения. Сумма, остающаяся после вычитания дисконта из суммы погашения, называется выручкой.Например, предположим, что Иванов получил вексель от Петрова на 10000 руб., которые будут погашены через 5 месяцев. После этого Иванов продает этот вексель Сидорову за 9500. В этом случае дисконт равен 500 руб. и выручка равна 9500 руб.

Пример 9. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням? Согласно (10) находим

P=310/(1+(180/365)0,16)=287,32859 тыс. руб.

Разность S — Р можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Банковский учет (учет векселей).Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает у его владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк получает доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, но ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d. Размер дисконта, или суммы учета равен Snd; если d — годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Таким образом,

P = S – Snd = S (1 – nd), (1.11)

где n — срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 - nd). Из формулы (1.11) вытекает, что при n > 1/d величина дисконтного множителя и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме P, что лишено смысла. Например, при d =20% уже пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К= 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным.

Пример 10. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17.11.2009г. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2008 по учетной ставке 20%. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) равна P = 1 000 000 (1-(55/360)0,2)=969444,4 руб.

Дисконт составит 30 555,6 руб.

Наращение по учетной ставке.Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае

S=P(1/(1-nd)) (1.12)

Множитель наращения здесь равен 1/(1 - nd). Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. Заметим, что при n > 1/d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа больше нуля.

Пример 11. По данным примера 2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке d = 18%:

S=1 000 000(1/(1-(258/360)0,18)=1 148 105,62 руб.

Простой дисконт, так же как простой процент, обычно используется только для краткосрочных периодов, как правило, не превышающих года. Чаще применяется норма дисконта d , хотя большое расхождение терминологии в различных текстах и финансовых учреждениях затрудняет временами возможность понять, какая норма упоминается норма процента или норма дисконта. Процент авансом означает банковский дисконт и его не следует путать с процентом, который всегда рассчитывается на P и выплачивается в конце сделки.