Математическое выражение первого закона термодинамики

Вся подводимая к рабочему телу теплота расходуется на изменение внутренней энергии и на совершение работы:

, Дж,	(2.8)
Дж/кг	(2.9)
	(2.10)
	(2.11)
	(2.12)

Формулы (2.8) – (2.12) математически выражают первый закон термодинамики через внутреннюю энергию.

Подстановка в (2.9) дает

,

где u + pv = h , Дж / кг – удельная энтальпия, является параметром состояния

.

Энтальпия идеального газа зависит только от температуры

При количественном анализе процессов часто используется математическая запись первого закона термодинамики через энтальпию:

, Дж,	(2.13)
, Дж / кг,	(2.14)
,	(2.15)
,	(2.16)
.	(2.17)

Теплоемкость газов

Теплоемкость – это количество тепла, которое необходимо подвести к единице количества вещества, чтобы нагреть его на 1⁰.

Различают теплоемкости:

· массовую (c, Дж/кг×К), отнесенную к одному килограмму газа;

· объемную (c^¢¢, Дж/м³×К), отнесенную к одному м³ объема при нормальных физических условиях;

· мольную (mс, Дж/кмоль×К), отнесенную к 1 киломолю газа,

, , ,

где r_Н - плотность газа при нормальных физических условиях (p=760 мм рт. ст., t = 0⁰ С).

Согласно определению теплоемкости

	(2.18)
	(2.19)
	(2.20)

Теплоемкость реальных газов зависит от давления и от температуры .

Теплоемкость идеальных газов (кроме одноатомного) зависит только от температуры .

Теплоемкость одноатомного идеального газа постоянна (c = const).

Для газов, теплоемкость которых зависит от температуры, различают истинную и среднюю теплоемкость. Формула (2.18) определяет теплоемкость при данной температуре – истинную теплоемкость.

На рис. 2.4 показана зависимость теплоемкости газа от температуры (1-2).

Исходя из геометрического смысла интеграла, можно записать:

где - средняя теплоемкость газа для интервала температур t₁ – t₂, которая может быть вычислена по одной из формул:

	(2.21)
.	(2.22)

Среднюю теплоемкость можно рассчитать:

– по результатам эксперимента, используя формулу (2.21);

– по формуле (2.22), используя зависимость теплоемкости от температуры, например,

или ,

где a, b, d – постоянные величины;

– через средние теплоемкости :

(2.23)

Для воздуха таблица средних теплоемкостей , и т.д. дана в Приложении.

Изменение температуры газа при одном и том же количестве сообщаемой теплоты зависит от характера процесса подвода теплоты, поэтому теплоемкость является функцией процесса:

– в изобарных процессах - изобарная теплоемкость ;

– в изохорных - изохорная ;

– в изотермических - ;

– в адиабатных - ;

– в политропных -

Связь изохорной и изобарной теплоемкостей для идеального газа описывает уравнение Майера

, Дж/(кг×К),	(2.24)
Дж/(кмоль×К).	(2.25)

Отношение теплоемкостей c_p/c_v называется показателем адиабаты или коэффициентом Пуассона.

Для идеального газа

Отсюда
	(2.26)
	(2.27)

Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости, основанная на допущении о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул и не учитывающая энергию внутримолекулярных колебаний, дает следующие значения мольных теплоемкостей:

- для одноатомных газов кДж/(кмоль×К);

- для двухатомных газов кДж/(кмоль×К);

- для трех– и многоатомных газов кДж/(кмоль×К).

В одноатомных газах отсутствуют внутримолекулярные колебания и постоянное значение теплоемкости, не зависящее от температуры ( кДж/(кмоль×К)), подтверждается экспериментальными данными. Теплоемкости остальных газов зависят от температуры, и указанные значения теплоемкости подтверждаются экспериментальными данными только в области комнатных температур.

Энергию колебательного движения атомов в молекуле учитывает квантовая теория теплоемкости. Значения теплоемкостей для двух- , трех- и многоатомных газов, рассчитанные по формуле Эйнштейна, подтверждаются экспериментом и приводятся в справочниках.

Теплоемкость газовой смеси рассчитывается по формулам:

Дж/(кг×К),	(2.28)
, Дж/(м3×К),	(2.29)
, Дж/(кмоль×К).	(2.30)

Методические указания. Вопросы и задачи

1. Обратите внимание на следующее:

а) параметры:

- это функции состояния, и их изменение (Dp, Dv, DT, Dh, Du) не зависит от характера процесса;

б) работа (l, w), теплоемкость (с) являются функциями процесса и зависят от характера процесса;

в) энтальпия, внутренняя энергия, теплоемкость идеального газа зависят только от температуры: ; ; ;

г) теплоемкость одноатомного идеального газа не зависит от температуры (с = const).

2. Уясните физический смысл внутренней энергии (u) и энтальпии (h) рабочего тела, работы изменения объема (w) и внешней работы (l).

3. Можно ли утверждать, что математическое выражение первого закона термодинамики через внутреннюю энергию справедливо для закрытых термодинамических систем, а через энтальпию – для открытых?

4. Давление газа в изохорном процессе при v = 0,5 м³/кг уменьшилось от p₁ = 6 бар до р₂ = 1 бар.

Определите работу изменения объема (w) и внешнюю работу (l) указанного процесса. Представьте процесс в p – v- диаграмме и покажите соответствующие этим работам площади.

5. Для изотермического процесса идеального газа дано: , где

a = const; p₁ = 10 бар, v₁ = 0,5 м³/кг, р₂ = 1 бар.

Определите внешнюю работу (l), изменение энтальпии (Dh), теплоту процесса (q).

Решение

Внешняя работа изотермического процесса, согласно (2.7) и уравнению , равна

Постоянная , кПа^.м³/кг

кДж/кг

Изменение энтальпии идеального газа в изотермическом процессе Dh= 0. Теплота изотермического процесса q = l согласно (2.15)

Ответы: l = q = 1151,3кДж/кг Dh = 0.

6. Температура воздуха увеличилась от t₁ = 30⁰ C до t₂ = 150⁰ C.

Определите, на сколько изменение энтальпии (Dh) воздуха отличается от изменения внутренней энергии (Du). Принять, что воздух – идеальный газ.

7. Рассчитайте изохорную и изобарную теплоемкости гелия, отнесенные к одному килограмму газа. Мольная масса гелия m = 4 кг/кмоль.

8. Определите среднюю мольную изобарную теплоемкость водорода в интервале температур 400 – 600 ⁰С, если истинная теплоемкость описывается формулой

, кДж/(кмоль×⁰С).

9. Определите массовую теплоемкость (с_р) генераторного газа, если его объемный состав

Примечание. Теплоемкость компонентов принять постоянной согласно молекулярно-кинетической теории газов.

Решение

В соответствии с молекулярно-кинетической теорией газов мольная изохорная теплоемкость углекислого газа (СО₂) mс_v = 29,1 кДж/(кмоль×К), двухатомных газов (H₂, CO, N₂) mс_v = 20,8 кДж/(кмоль×К),.

Мольные изобарные теплоемкости, согласно (2.25) для двухатомных газов:

кДж/(кмоль×К),

для СО₂

кДж/(кмоль×К).

Согласно (2.30) мольная изобарная теплоемкость газовой смеси

кДж/(кмоль.К)

Согласно (1.15) мольная масса генераторного газа

кг/кмоль.

Массовая изобарная теплоемкость генераторного газа

кДж/(кг^.К).

Ответ: кДж/(кг^.К).

10. Рассчитайте среднюю изобарную теплоемкость воздуха, отнесенную к 1 кг, в интервале температур 700 – 900 ⁰С, используя табличные значения теплоемкостей и (см. Приложение).

Ответы

3. Да. 4. l = 250 кДж/кг, w = 0. 6. кДж/кг.

7. кДж/(кг^.К), кДж/(кг^.К).

8. кДж/(кмоль^.К). 10. кДж/(кг^.К).