Определение устойчивости системы. Теоремы Лапласа, критерии устойчивости

Исследование устойчивости САУ имеет огромное значение, так как САУ в замкнутом виде обычно склонны к неустойчивой работе.

Устойчивость линейной системы определяется ее параметрами и не зависит от внешних воздейст­вий.

Процессы в САУ описываются неоднородным дифференци­альным уравнением, общее решение которого состоит из двух составля­ющих:

x_вых(t) = x_{вых(вын)}(t) + x_вых(св)(t).

Общее решение однородного дифференциального уравнения определяется корнями соответствующего характеристического уравнения, т.е. полюсами передаточной функции замкнутой системы.

Общее решение однородного дифференциального уравнения равно:

,

где pi – корень характеристического уравнения (полюс системы), ; Ci – постоянная интегрирования.

Если полюс pi вещественный и отрицательный, т.е. pi < 0, то соответствующее ему слагаемое в выражении (3.5) с ростом времени стремится к нулю.

Если же pi – вещественный положительный полюс, т.е. pi > 0, то это слагаемое, а значит и вся свободная составяляющая, неограниченно возрастает.

Паре комплексно-сопряженных полюсов

p_i,i+1 = α_i + jβ_i ,

в свободной составляющей соответствует слагаемое:

,

где определяются через и

.

Такое слагаемое стремится к ну­лю, если вещественные части комплексно-сопряженных полюсов отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний соответствующего слагаемого в свободной составляющей непрерывно возрастает.

Паре мнимых полюсов pi,i+1 = + jβi в выражении соответствует слагаемое:

Ai sin(βit + ),

определяющее незатухающие колебания с постоянной амплитудой Ai.

Таким образом, для устойчивости системы САР необ­ходимо и достаточно, чтобы все корни характеристичес­кого уравнения на плоскости комплексного переменного были распо­ложены слева от мнимой оси. Только при этом все слагаемые в выражении будут стремиться к нулю.

Если корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости за исключение нескольких, располо­женных на мнимой оси, то система находится на грани­це устойчивости. При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой ко­рень появляется, когда свободный член характеристиче­ского уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные, то система нейтрально устойчива. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых кор­ней, границу устойчивости называют колебательной.

Определение устойчивости САУ по полюсам ее передаточной функции называют прямым методом оценки устойчивости. Однако для оценки устойчивости линейной системы не обязательно вычислять значения ее полюсов, т.е. решать алгебраическое уравнение n-го порядка. Достаточно знать, все ли полюса находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости р (являются «левыми»). Такой подход к определению устойчивости системы характерен для косвенных методов оценки устойчивости (критериев устойчивости), позволяющих судить о расположении полюсов на плоскости комплексного переменного без их расчета.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. Отличие критериев друг от друга связано с использованием различных характеристик САУ, но при этом все они предполагают необходимость проверки необходимого и достаточного условия устойчивости.

Независимо от выбранного критерия устойчивости первоначально проверяется выполнение необходимого условия устойчивости, согласно которому все коэффициен­ты характеристического уравнения должны быть положительными, т.е.

ai > 0 при i = 1,…,n.

Если необходимое условие не выполняется, делается заключение о том, что система неустойчива. В противном случае необходимо переходить к проверке достаточного условия устойчивости, формулировка которого зависит от выбранного критерия устойчивости. В даль­нейшем будем полагать, что необходимое условие устой­чивости выполняется.

Для систем первого и второго порядка необходимое условие устойчивости является достаточным.

6.1 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Для оценки устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо из коэффициентов характеристиче­ского уравнения составить определитель Гурвица, размерность которого равна порядку системы.

Определитель Гурвица имеет вид:

.

Порядок составления определителя Гурвица следующий. В качестве элемента первого столбца первой строки определителя записывается коэффици­ент an-1, а затем на главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно убывающими индексами. При этом в послед выражении нем столбце последней строки определителя записывается коэффициент .

Затем, начиная от коэффициентов, стоящих на главной диагонали, заполняются столбцы определителя так, чтобы ин­дексы коэффициентов, расположенных над коэффициентами главной диагонали, последовательно убывали, а коэффициентов, расположенных под диагональными коэффициентами, – последовательно возрастали. Если в процессе заполнения столбца определителя индекс коэффициента достигает значения n или 0, то дальнейшее заполнение столбца осуществляется нулями.

Далее необходимо вычислить значение определителя Гурвица и всех его диагональных миноров, которые получают из определителя путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу определителя. Например, диагональный минор первого порядка равен Δ1 = an-1 ; диагональный минор второго порядка:

Δ2 = ,

а диагональный минор третьего порядка:

Δ3 = .

Очевидно, что диагональный минор n-го порядка совпадает с определителем Гурвица.

Линейная система устойчива, если при выполнении необходимого условия, определитель Гурвица и все его диагональные миноры будут положительны:

Δ1 > 0, Δ2 > 0, …………,Δn > 0.

Раскрыв определитель Гурвица по последнему столбцу, получим

Так как, в соответствие с необходимым критерием устойчивости > 0 и > 0, то для проверки устойчивости систе­мы достаточно уточнить знаки диагональных миноров с номерами от второго до .

Если определитель Δn = 0, то САУ находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:

1) сво­бодный член характеристического уравнения равен нулю, т.е. a0 = 0, что соответствует нейтрально устойчивой системе;

2) диагональный минор Δ(n-1) = 0, что соответствует колебательной границе устойчивости.

Из условия Δ(n-1) = 0 можно опреде­лить параметры, при которых САУ находится на границе устойчивости.

6.2 Критерий устойчивости Михайлова

Годограф характеристического вектора, т.е. кривую, которую описывает характеристический вектор при изменении частоты от 0 до ∞, называют кривой

Михайлова. При а_n > 0 кривая Михайлова начинается в положительной вещественной полуоси.

Из формулировки критерия следует, что система устойчива, если годограф Михайлова, начавшись на действительной оси при ω = 0, несколько раз последовательно пересекает действительную и мнимую ось. Значения ω, при которых происходят эти пересечения, являются корнями уравнения Y(ω) = 0 (при пересечении с действительной осью) и уравнения Х(ω) = 0 (при пересечении с мнимой осью). Следовательно, оценить устойчивость системы можно и без построения годографа: достаточно, чтобы корни указанных уравнений чередовались друг с другом.

6.3 Критерий Найквиста

На практике более широ­кое применение, по сравнению с критерием Михайлова, нашел частотный критерий Найквиста, который позво­ляет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам этой системы в разомкнутом состоянии.

1 формулировка критерия Найквиста: система, устойчивая в разомкнутом состояние, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы не охва­тывает точку с координатами (-1, j0). В том случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку, система неустойчива.

2 формулировка критерия Найквиста: система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы пересекает реальную ось на отрезке от -∞ до (-1, j0), причем число положительных переходов должно отличаться от числа отрицательных переходов на раз, где - число правых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы.

Для оценки устойчивости астатических систем годограф W(jω) дополняют дугой бесконечного радиуса, начинающейся на положительной действительной полуоси и проводимой до пересечения с годографом W(jω). Формулировка критерия устойчивости при этом не изменяется.

Если годограф W(jω) разомкнутой системы проходят через точку (1, j0), то система в замкну­том состоянии находится на границе устойчивости.

6.4 Оценка устойчивости по логарифмическим характеристикам

Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амлитудно- и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω) и φ(ω). В том случае, когда годограф W(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с коор­динатами (-1, j0), для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

ω_с < ω_кр.

По L(ω) и φ(ω) разомкнутой системы можно определить за­пасы устойчивости: запас по фазе Δφ отсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте среза ω_с, а запас устойчивости по усилению ΔL равен зна­чению ЛАХ на критической частоте ω_кр, взятому с обратным знаком, т.е. ΔL = |L(ω_кр)|.

Если ω_с = ω_кр, то система находится на границе устойчивости.

6.5 Устойчивость систем с запаздыванием

Рассмотрим устойчивость САУ, в состав кото­рых входят звенья чистого запаздывания. Передаточную функцию разомкнутой системы с запаздыванием запишем в виде

W(p) = Wбз(p)∙e-τp,

где Wбз(p) – передаточная функция разомкнутой систе­мы без запаздывания; τ – время запаздывания.

Передаточной функции звена с запаздыванием соответствуют следую­щие амплитудно- и фазо-частотные характеристики ра­зомкнутой системы:

│W(p)│ = │Wбз(p)│;

L(ω)= Lбз(ω);

φ(ω) = φбз(ω) – ωτ,

где Lбз(ω), φбз(ω) – соответственно логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики разомкнутой системы без запаздывания.

Из этих характеристик следует, что запаздывание влияет только на фазо-частотную характеристику, созда­вая дополнительный отрицательный фазовый сдвиг. Поэтому устойчивые САУ, не содержащие звеньев чистого запаздывания, мо­гут становиться неустойчивыми при включении в их состав таких звеньев.