Частотные характеристики: способ получения, связь, показатели качества.
При рассмотрении частотных характеристик считаем, что на входе системы действует гармонический сигнал с амплитудой и частотой :
.
По окончании переходного процесса на выходе линейной системы будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и у входного сигнала, но в общем случае отличающиеся от него по амплитуде и фазе, т.е. в установившемся режиме выходная величина звена равна:
,
где – амплитуда установившихся выходных колебаний; – фазовый сдвиг между входными и выходными синусоидальными колебаниями.
При изменении частоты изменяется, как соотношение между амплитудами входных и выходных колебаний, так и фазовый сдвиг между ними.
При этом зависимость от частоты отношения амплитуд называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), т.е.
.
Зависимость величины фазового сдвига от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Частотная передаточная функция легко получается из обычной передаточной функции подстановкой , т.е.
(8)
Частотная передаточная функция представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент – сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной. Частотная передаточная функция может быть представлена в виде:
, (9)
здесь
– амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
– фазовая частотная характеристика (ФЧХ);
– вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
– мнимая частотная характеристика (МЧХ).
На комплексной плоскости частотная передаточная функция определяет вектор, длина которого равна , а аргумент равен углу , образованному этим вектором с положительной действительной полуосью. Годограф этого вектора, т.е. кривую, описываемую концом вектора при изменении частоты от 0 до ∞ или от -∞ до +∞, называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФХ) или годографом Найквиста.
Рисунок - Амплитудно-фазовая частотная характеристика
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции часто бывает необходимо освободиться от мнимой части в ее знаменателе. Для этого следует ее числитель и знаменатель умножить на сопряженный знаменателю множитель. Например, если
,
то
В общем случае амплитудная частотная характеристика имеет вид:
, (10)
а фазовая частотная характеристика:
(11)
При построении частотных характеристик систем, состоящих из нескольких соединенных типовых звеньев, удобно пользоваться следующими правилами вычисления модуля и аргумента комплексных функций [1]:
- модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:
, (12)
- а аргумент – сумме аргументов сомножителей:
. (13)
- модуль дроби комплексных чисел равен дроби модулей:
, (14)
- а аргумент – разности аргументов числителя и знаменателя:
. (15)
При исследовании систем управления амплитудную и фазовую характеристики удобно строить в логарифмических координатах. При этом построение точных графиков логарифмических функций даже типовых звеньев требует достаточно трудоемких вычислений, поэтому на практике удобно пользоваться приближенными асимптотическими логарифмическими характеристиками.
Прологарифмируем выражение (9):
. (16)
Из выражения (16) видно, что первое слагаемое определяет логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ), а второе – логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ). ЛАЧХ строится в виде зависимости от , а ЛФЧХ в виде зависимости от .
Использование логарифмических характеристик позволяет достаточно просто строить частотные характеристики системы, состоящей из нескольких звеньев, т.к. если прологарифмировать выражение (12) мы получим, что логарифм модуля произведения равен сумме логарифмов модулей сомножителей:
. (17)
Фазовая частотная характеристика строится в логарифмическом масштабе только по оси абсцисс, т.е. фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получается просто в виде суммы фазовых сдвигов на отдельных звеньях, что видно из выражения (13).
На оси частот обычно указывают либо значение , тогда единицей приращения является одна декада, либо значение самой частоты .
Интервал частот, отличающихся друг от друга в 10 раз называют декадой и обычно принимают за единицу логарифмического масштаба [2].
Как было отмечено ранее, для построения ЛАЧХ находится величина , которая обозначается и выражается в децибелах. Децибел равен одной десятой бела.
Бел – логарифмическая единица, которая соответствует десятикратному увеличению мощности, т.е. 1 бел соответствует усиления мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз и т.д..
Проиллюстрируем порядок построения асимптотической ЛАЧХ на примере апериодического звена первого порядка с передаточной функцией:
.
Запишем частотную передаточную функцию звена:
.
Выделив реальную и мнимую части частотной передаточной функции, получим выражения для амплитудной и фазовой частотных характеристик:
Прологарифмируем выражение для амплитудной частотной характеристики:
.
Для простоты построения при пренебрегают слагаемым под корнем, т.к. оно меньше единицы, а при - единицей. Тогда выражение для асимптотической ЛАЧХ апериодического звена можно записать в виде:
Частоты, на которых асимптотические ЛАЧХ претерпевают излом, называются сопрягающими частотами.
Для построения асимптотической ЛАЧХ системы с произвольной передаточной функцией необходимо предварительно записать ее в следующем виде:
, (18)
где - общий коэффициент усиления системы;
- порядок астатизма системы, который определяется числом идеальных интегрирующих звеньев в системе;
- передаточная функция типового звена с единичным коэффициентом усиления, а - число типовых звеньев.
Правило построения асимптотических ЛАЧХ:
- записать передаточную функцию системы в виде соединения типовых звеньев согласно выражению(18);
- вычислить величину начального усиления равную ;
- определить все сопрягающие частоты и последовательно пронумеровать их;
- отметить все сопрягающие частоты на оси абсцисс;
- отметить точку ( ; ) на координатной плоскости;
- через отмеченную точку провести первую асимптоту под наклоном - 20 дБ/дек до первой частоты сопряжения;
- следующая асимптота проводится от конца первой асимптоты до следующей частоты сопряжения под наклоном дБ/дек, при этом a определяет порядок звена, а знак зависит от того, в числителе или знаменателе соответственно находится множитель, содержащий частоту спряжения на конце данной асимптоты.
- таким образом строятся последующие асимптоты: i-тая асимптота начинается от сопрягающей частоты до частоты , при этом наклон определяется частотой .
Последняя асимптота представляет собой прямую, которая начинается от частоты и уходит в бесконечность, при этом ее наклон будет соответствовать выражению дБ/дек, где d – порядок знаменателя передаточной функции, а b – порядок числителя. Конечный наклон асимптотической ЛАЧХ всегда будет отрицательный, что является следствием из правила физической реализуемости системы
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 582;