Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала.

Выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики.

Согласно свойству Z - преобразования

Y(z) = H(z) X(z),

Из последних соотношений следует, что системная функция H(z) представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.

Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.

Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.

Пример

На входе фильтра действует сигнал x_n, а на выходе сигнал y_n. Временные диаграммы этих сигналов приведены на рисунке. Определите системную функцию и импульсную характеристику фильтра.

Рассмотрим формы программной реализации фильтра:

1. Прямая форма

На рисунке представлен алгоритм функционирования звена второго порядка цифрового фильтра при прямой форме реализации.

Прямая форма следует из определения фильтра как линейной системы. Следовательно, n – ый отсчет выходного сигнала фильтра y_n должен быть связан линейными соотношениями с отсчетами входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени x_n, x_n-1, .. и отсчетами выходного сигнала в предшествующие моменты времени y_n-1, y_n-2, .. Соответствующие коэффициенты пропорциональности B₀, B₁, B₂, A₁, A₂ определяют свойства фильтра.

Согласно схеме

Выразим Z - преобразование выходного сигнала Y(z) через Z-преобразование входного сигнала

Из последнего соотношения получим

.

Таким образом, системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.

Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Отметим, что знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.

2.Каноническая форма.

Каноническая форма программной реализации фильтра

Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

Максимальное значение показателя степени комплексной переменной z^-1 в знаменателе называется порядком фильтра.

Из звеньев второго порядка строятся более сложные фильтры за счет последовательно или параллельно включенных звеньев.

При последовательно включенных звеньях

,

При параллельно включенных звеньях

,

где L – порядковый номер звена, L_max – максимальное значение номера звена

Где N – порядок фильтра

При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B₂ и A₂ равны нулю.

2.5. Частотная характеристика цифрового фильтра

Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации комплексный сигнал с единичной амплитудой

.

Согласно определению комплексного коэффициента передачи выходной сигнал должен быть равен

.

При прямой реализации фильтра выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Из последнего соотношения получим

Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра, можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи, если известна системная функция фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на

, где .

Пример №1

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Чему равен коэффициент передачи фильтра для постоянной составляющей входного сигнала?

Для постоянной составляющей .

Поэтому

Пример №2

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Чему равен коэффициент передачи фильтра на частоте, равной четверти частоты дискретизации)

,

2.6. Цифровой резонатор

Цифровой резонатор представляет собой звено второго порядка, у которого коэффициенты системной функции B₁ и B₂ равны нулю.

Цифровой резонатор

Системная функция резонатора описывается следующим соотношением

Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при A₁=0.

Подставляя в выражение для системной функции , получим

.

Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:

,

.

При резонансный коэффициент передачи равен

На границах интервала Котельникова

АЧХ резонатора при =0.9, =0, M=1-

ФЧХ резонатора при =0.9, =0

АЧХ резонатора при A₂ =0.99, A₁=0, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.99, A₁=0

Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А₂ показывает, что при стремлении А₂ к единице полоса пропускания резонатора уменьшается (резонанс становится более острым) и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.

Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

,

.

В цифровом резонаторе должно выполняться условие

.

Поэтому полюсы системной функции являются комплексно-сопряженными и определяются следующим соотношением

, где .

Полюсы системной функции z₁ и z₂

На рисунке показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие

.

При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 до F_Д / 2. При этом конец вектора перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при , т.е. при , где - резонансная частота резонатора.

Подставляя в последнее соотношение θ₀ получим

.

Из последнего соотношения видно, что резонансная частота зависит от частоты дискретизации F_Д и коэффициентов системной функции A₁ и A₂. При A₁=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A₁<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A₁> 0 – больше четверти частоты дискретизации.

Для выяснения влияния коэффициента А₁ на свойства резонатора рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А₁<0 и при A₁>0.

АЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= -0.9, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= -0.9

AЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= 0.9, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁=0.9

Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А₁ сильно влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.

2.7. Однородный фильтр

Однородным называется нерекурсивный фильтр, у которого все коэффициенты системной функции одинаковы. Этот фильтр называют также фильтром скользящего среднего.

Однородный фильтр второго порядка

Из рисунка видно, что выходной сигнал фильтра определяется следующими соотношениями

Определим Z-преобразования последовательностей v_n и y_n

Определим системную функцию фильтра

.

Используя подстановку , определим комплексный коэффициент передачи

Обозначим

.