Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала.


Выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики.

Согласно свойству Z - преобразования

Y(z) = H(z) X(z),

 

Из последних соотношений следует, что системная функция H(z) представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.

 

Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.

Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.

 

Пример

 

На входе фильтра действует сигнал xn, а на выходе сигнал yn. Временные диаграммы этих сигналов приведены на рисунке. Определите системную функцию и импульсную характеристику фильтра.

 

 

Рассмотрим формы программной реализации фильтра:

1. Прямая форма

На рисунке представлен алгоритм функционирования звена второго порядка цифрового фильтра при прямой форме реализации.

 

Прямая форма следует из определения фильтра как линейной системы. Следовательно, n – ый отсчет выходного сигнала фильтра yn должен быть связан линейными соотношениями с отсчетами входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени xn, xn-1, .. и отсчетами выходного сигнала в предшествующие моменты времени yn-1, yn-2, .. Соответствующие коэффициенты пропорциональности B0, B1, B2, A1, A2 определяют свойства фильтра.

 

Согласно схеме

Выразим Z - преобразование выходного сигнала Y(z) через Z-преобразование входного сигнала

 

Из последнего соотношения получим

 

.

Таким образом, системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.

Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Отметим, что знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.

 

2.Каноническая форма.

Каноническая форма программной реализации фильтра

 

 

 

 

 

 

Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

Максимальное значение показателя степени комплексной переменной z-1 в знаменателе называется порядком фильтра.

Из звеньев второго порядка строятся более сложные фильтры за счет последовательно или параллельно включенных звеньев.

 

При последовательно включенных звеньях

,

 

 

При параллельно включенных звеньях

,

 

где L – порядковый номер звена, Lmax – максимальное значение номера звена

Где N – порядок фильтра

При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B2 и A2 равны нулю.

 

2.5. Частотная характеристика цифрового фильтра

 

Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации комплексный сигнал с единичной амплитудой

.

Согласно определению комплексного коэффициента передачи выходной сигнал должен быть равен

.

При прямой реализации фильтра выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Из последнего соотношения получим

Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра, можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи, если известна системная функция фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на

 

, где .

 

Пример №1

 

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Чему равен коэффициент передачи фильтра для постоянной составляющей входного сигнала?

Для постоянной составляющей .

Поэтому

 

Пример №2

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Чему равен коэффициент передачи фильтра на частоте, равной четверти частоты дискретизации)

,

 

2.6. Цифровой резонатор

Цифровой резонатор представляет собой звено второго порядка, у которого коэффициенты системной функции B1 и B2 равны нулю.

 

Цифровой резонатор

 

 

 

Системная функция резонатора описывается следующим соотношением

 

 

 

Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при A1=0.

Подставляя в выражение для системной функции , получим

.

Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:

,

.

 

 

При резонансный коэффициент передачи равен

На границах интервала Котельникова

 

 

 

АЧХ резонатора при =0.9, =0, M=1-

ФЧХ резонатора при =0.9, =0

 

 

АЧХ резонатора при A2 =0.99, A1=0, M=1-A2

 

ФЧХ резонатора при A2=0.99, A1=0

 

Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А2 показывает, что при стремлении А2 к единице полоса пропускания резонатора уменьшается (резонанс становится более острым) и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.

 

 

Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

,

.

В цифровом резонаторе должно выполняться условие

.

Поэтому полюсы системной функции являются комплексно-сопряженными и определяются следующим соотношением

, где .

Полюсы системной функции z1 и z2

 

На рисунке показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие

.

При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 до FД / 2. При этом конец вектора перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при , т.е. при , где - резонансная частота резонатора.

Подставляя в последнее соотношение θ0 получим

.

Из последнего соотношения видно, что резонансная частота зависит от частоты дискретизации FД и коэффициентов системной функции A1 и A2. При A1=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A1<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A1> 0 – больше четверти частоты дискретизации.

 

 

Для выяснения влияния коэффициента А1 на свойства резонатора рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А1<0 и при A1>0.

 

АЧХ резонатора при A2=0.9, A1= -0.9, M=1-A2

 

ФЧХ резонатора при A2=0.9, A1= -0.9

 

 

AЧХ резонатора при A2=0.9, A1= 0.9, M=1-A2

ФЧХ резонатора при A2=0.9, A1=0.9

 

Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А1 сильно влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.

 

2.7. Однородный фильтр

 

Однородным называется нерекурсивный фильтр, у которого все коэффициенты системной функции одинаковы. Этот фильтр называют также фильтром скользящего среднего.

Однородный фильтр второго порядка

 

Из рисунка видно, что выходной сигнал фильтра определяется следующими соотношениями

 

Определим Z-преобразования последовательностей vn и yn

Определим системную функцию фильтра

.

Используя подстановку , определим комплексный коэффициент передачи

 

Обозначим

.

 



Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 601;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.028 сек.