Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала.
Выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики.
Согласно свойству Z - преобразования
Y(z) = H(z) X(z),
Из последних соотношений следует, что системная функция H(z) представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.
Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.
Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.
Пример
На входе фильтра действует сигнал xn, а на выходе сигнал yn. Временные диаграммы этих сигналов приведены на рисунке. Определите системную функцию и импульсную характеристику фильтра.
Рассмотрим формы программной реализации фильтра:
1. Прямая форма
На рисунке представлен алгоритм функционирования звена второго порядка цифрового фильтра при прямой форме реализации.
Прямая форма следует из определения фильтра как линейной системы. Следовательно, n – ый отсчет выходного сигнала фильтра yn должен быть связан линейными соотношениями с отсчетами входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени xn, xn-1, .. и отсчетами выходного сигнала в предшествующие моменты времени yn-1, yn-2, .. Соответствующие коэффициенты пропорциональности B0, B1, B2, A1, A2 определяют свойства фильтра.
Согласно схеме
Выразим Z - преобразование выходного сигнала Y(z) через Z-преобразование входного сигнала
Из последнего соотношения получим
.
Таким образом, системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.
Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.
Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.
Отметим, что знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.
2.Каноническая форма.
Каноническая форма программной реализации фильтра
Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.
Максимальное значение показателя степени комплексной переменной z-1 в знаменателе называется порядком фильтра.
Из звеньев второго порядка строятся более сложные фильтры за счет последовательно или параллельно включенных звеньев.
При последовательно включенных звеньях
,
При параллельно включенных звеньях
,
где L – порядковый номер звена, Lmax – максимальное значение номера звена
Где N – порядок фильтра
При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.
Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B2 и A2 равны нулю.
2.5. Частотная характеристика цифрового фильтра
Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.
Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты
.
Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.
.
Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации комплексный сигнал с единичной амплитудой
.
Согласно определению комплексного коэффициента передачи выходной сигнал должен быть равен
.
При прямой реализации фильтра выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением
.
Из последнего соотношения получим
Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра, можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи, если известна системная функция фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на
, где .
Пример №1
Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением
Чему равен коэффициент передачи фильтра для постоянной составляющей входного сигнала?
Для постоянной составляющей .
Поэтому
Пример №2
Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением
Чему равен коэффициент передачи фильтра на частоте, равной четверти частоты дискретизации)
,
2.6. Цифровой резонатор
Цифровой резонатор представляет собой звено второго порядка, у которого коэффициенты системной функции B1 и B2 равны нулю.
Цифровой резонатор
Системная функция резонатора описывается следующим соотношением
Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при A1=0.
Подставляя в выражение для системной функции , получим
.
Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:
,
.
При резонансный коэффициент передачи равен
На границах интервала Котельникова
АЧХ резонатора при =0.9, =0, M=1-
ФЧХ резонатора при =0.9, =0
АЧХ резонатора при A2 =0.99, A1=0, M=1-A2
ФЧХ резонатора при A2=0.99, A1=0
Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А2 показывает, что при стремлении А2 к единице полоса пропускания резонатора уменьшается (резонанс становится более острым) и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.
Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения
,
.
В цифровом резонаторе должно выполняться условие
.
Поэтому полюсы системной функции являются комплексно-сопряженными и определяются следующим соотношением
, где .
Полюсы системной функции z1 и z2
На рисунке показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие
.
При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 до FД / 2. При этом конец вектора перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при , т.е. при , где - резонансная частота резонатора.
Подставляя в последнее соотношение θ0 получим
.
Из последнего соотношения видно, что резонансная частота зависит от частоты дискретизации FД и коэффициентов системной функции A1 и A2. При A1=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A1<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A1> 0 – больше четверти частоты дискретизации.
Для выяснения влияния коэффициента А1 на свойства резонатора рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А1<0 и при A1>0.
АЧХ резонатора при A2=0.9, A1= -0.9, M=1-A2
ФЧХ резонатора при A2=0.9, A1= -0.9
AЧХ резонатора при A2=0.9, A1= 0.9, M=1-A2
ФЧХ резонатора при A2=0.9, A1=0.9
Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А1 сильно влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.
2.7. Однородный фильтр
Однородным называется нерекурсивный фильтр, у которого все коэффициенты системной функции одинаковы. Этот фильтр называют также фильтром скользящего среднего.
Однородный фильтр второго порядка
Из рисунка видно, что выходной сигнал фильтра определяется следующими соотношениями
Определим Z-преобразования последовательностей vn и yn
Определим системную функцию фильтра
.
Используя подстановку , определим комплексный коэффициент передачи
Обозначим
.
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 601;