Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала.

Выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики.

Согласно свойству Z - преобразования

Y(z) = H(z) X(z),

Из последних соотношений следует, что системная функция H(z) представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.

Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.

Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.

Пример

На входе фильтра действует сигнал x_n, а на выходе сигнал y_n. Временные диаграммы этих сигналов приведены на рисунке. Определите системную функцию и импульсную характеристику фильтра.

Рассмотрим формы программной реализации фильтра:

1. Прямая форма

На рисунке представлен алгоритм функционирования звена второго порядка цифрового фильтра при прямой форме реализации.

Прямая форма следует из определения фильтра как линейной системы. Следовательно, n – ый отсчет выходного сигнала фильтра y_n должен быть связан линейными соотношениями с отсчетами входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени x_n, x_n_-1, .. и отсчетами выходного сигнала в предшествующие моменты времени y_n_-1, y_n_-2, .. Соответствующие коэффициенты пропорциональности B₀, B₁, B₂, A₁, A₂ определяют свойства фильтра.

Согласно схеме

Выразим Z - преобразование выходного сигнала Y(z) через Z-преобразование входного сигнала

Из последнего соотношения получим

Таким образом, системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.

Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Отметим, что знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.

2.Каноническая форма.

Каноническая форма программной реализации фильтра

Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

Максимальное значение показателя степени комплексной переменной z^-1 в знаменателе называется порядком фильтра.

Из звеньев второго порядка строятся более сложные фильтры за счет последовательно или параллельно включенных звеньев.

При последовательно включенных звеньях

При параллельно включенных звеньях

где L – порядковый номер звена, L_max – максимальное значение номера звена

Где N – порядок фильтра

При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B₂ и A₂ равны нулю.

2.5. Частотная характеристика цифрового фильтра

Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации комплексный сигнал с единичной амплитудой

Согласно определению комплексного коэффициента передачи выходной сигнал должен быть равен

При прямой реализации фильтра выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением

Из последнего соотношения получим

Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра, можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи, если известна системная функция фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на

, где .

Пример №1

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Чему равен коэффициент передачи фильтра для постоянной составляющей входного сигнала?

Для постоянной составляющей .

Поэтому

Пример №2

Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

Чему равен коэффициент передачи фильтра на частоте, равной четверти частоты дискретизации)

2.6. Цифровой резонатор

Цифровой резонатор представляет собой звено второго порядка, у которого коэффициенты системной функции B₁ и B₂ равны нулю.

Цифровой резонатор

Системная функция резонатора описывается следующим соотношением

Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при A₁=0.

Подставляя в выражение для системной функции , получим

Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:

При резонансный коэффициент передачи равен

На границах интервала Котельникова

АЧХ резонатора при =0.9, =0, M=1-

ФЧХ резонатора при =0.9, =0

АЧХ резонатора при A₂ =0.99, A₁=0, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.99, A₁=0

Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А₂ показывает, что при стремлении А₂ к единице полоса пропускания резонатора уменьшается (резонанс становится более острым) и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.

Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

В цифровом резонаторе должно выполняться условие

Поэтому полюсы системной функции являются комплексно-сопряженными и определяются следующим соотношением

, где .

Полюсы системной функции z₁ и z₂

На рисунке показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие

При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 до F_Д / 2. При этом конец вектора перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при , т.е. при , где - резонансная частота резонатора.

Подставляя в последнее соотношение θ₀ получим

Из последнего соотношения видно, что резонансная частота зависит от частоты дискретизации F_Д и коэффициентов системной функции A₁ и A₂. При A₁=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A₁<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A₁> 0 – больше четверти частоты дискретизации.

Для выяснения влияния коэффициента А₁ на свойства резонатора рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А₁<0 и при A₁>0.

АЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= -0.9, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= -0.9

AЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= 0.9, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁=0.9

Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А₁ сильно влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.

2.7. Однородный фильтр

Однородным называется нерекурсивный фильтр, у которого все коэффициенты системной функции одинаковы. Этот фильтр называют также фильтром скользящего среднего.