Цифровым фильтром называется линейная частотно-избирательная система, реализуемая на основе вычислительного устройства.
Цифровые фильтры
2.1. Свойства Z-преобразования
Прямым Z-преобразованием дискретной последовательности xn, где n=0,1,.., называется функция комплексной переменной z, определяемая следующим соотношением
.
Функция определена для тех значений z, при которых ряд сходится.
Здесь и в дальнейшем последовательность обозначается строчной, а ее Z-преобразование той же прописной буквой.
Пример №1:
Пример №2
Пример №3
Найдите Z-преобразование сигнала
При выполнении условия
Ряд сходится в той части плоскости комплексной переменной z, для которой справедливо неравенство
Обратное Z – преобразование
Cвойства прямого Z-преобразования.
1.Линейность. Пусть последовательность yn представляет взвешенную сумму двух последовательностей x1n и x2n
,
где постоянные весовые коэффициенты.
Тогда Z-преобразование последовательности yn определяется следующим соотношением
.
Таким образом, Z-преобразование взвешенной суммы двух последовательностей равно взвешенной сумме Z-преобразований этих последовательностей.
2.Сдвиг последовательностей.
.
Последовательность yn представляет собой сдвинутую (задержанную) на m отсчетов последовательность xn
Тогда Z-преобразование Y(z) последовательности yn выражается через Z-преобразование X(z) последовательности xn следующим образом
.
Таким образом, Z-преобразование последовательности, сдвинутой относительно исходной на m отсчетов, равно Z-преобразованию исходной последовательности, умноженной на z –m.
Пример №1
Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала yn цифровой линии задержки через Z – преобразование X(z) входного сигнала xn
Пример №2
Выразите Z-преобразование сигнала yn через Z-преобразование сигнала xn, если
3.Дискретная свертка двух последовательностей. Дискретной сверткой двух последовательностей xn и hn называется последовательность yn, ,определяемая следующим соотношением
Z-преобразование Y(z) дискретной свертки двух последовательностей yn равно произведению Z-преобразований H(z) и X(z) исходных последовательностей hn и xn
,
где .
Пример
Определите Z-преобразование свертки yn дискретных сигналов
2.2. Импульсная характеристика цифрового фильтра. Понятие о рекурсивных и нерекурсивных цифровых фильтрах, БИХ- и КИХ-фильтрах
Цифровым фильтром называется линейная частотно-избирательная система, реализуемая на основе вычислительного устройства.
Если n-ый отсчет выходного сигнала фильтра yn зависит только от отсчетов входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени xn, xn-1 ..и т.д., то такой фильтр называется нерекурсивным.
Если n-ый отсчет выходного сигнала фильтра yn зависит не только от отсчетов входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени xn, xn-1 ..и т.д., но и от отсчетов выходного сигнала в предшествующие моменты времени, то такой фильтр называется рекурсивным.
Импульсной характеристикойцифрового фильтра называется выходной сигнал фильтра при действии на его входе единичного отсчета и нулевых начальных условиях.
Фильтр с конечной импульсной характеристикой называется КИХ - фильтром (КИХ -конечная импульсная характеристика). Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой называют БИХ - фильтром.
2.3. Определение выходного сигнала фильтра по входному сигналу и импульсной характеристике
Определение выходного сигнала цифрового фильтра по входному сигналу и импульсной характеристики основано на определении импульсной характеристики и принадлежности фильтра к линейным системам, для которых справедлив принцип суперпозиции.
Так как фильтр линейная система, то при входном отсчете в x0 раз больше единичного, выходной сигнал будет представлять собой импульсную характеристику, все отсчеты которой умножены на x0, - x0 hn.
Определим реакцию фильтра на отсчет сигнала x1 при x0 =0. При x1=1 выходной сигнал фильтра представлял бы собой импульсную характеристику, запаздывающую на один отсчет hn-1. При отсчете x1, отличном от единицы, реакцией фильтра будет запаздывающая на один отсчет импульсная характеристика, все отсчеты которой умножены на x1, - x1 hn-1.
Согласно принципу суперпозиции полученные реакции суммируются.
В результате
,
, …..
В общем случае
(1)
Согласно последнему соотношению
Однако в рассмотренном примере x2 = 0, поэтому, как видно из рисунка,
В общем случае
В данном примере x2 = x3 = 0, h3 = 0, поэтому
Соотношение (1) представляет собой дискретную свертку последовательностей xn и hn, т.е. выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.
2.4. Системная функция цифрового фильтра. Формы программной реализации фильтра
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 481;