Цифровой фильтр устойчив, если сумма абсолютных значений отсчетов его импульсной характеристики конечна.

Из этого критерия следует, что все фильтры с конечной импульсной характеристикой абсолютно устойчивы.

Пример:

,

где – положительная константа, от которой зависит скорость убывания отсчетов импульсной характеристики.

Учитывая, что , получим

.

3.Критерий оценки устойчивости по системной функции фильтра

.

Модуль системной функции удовлетворяет неравенству

.

При справедливо неравенство

.

При и при .

Последнее соотношение означает, что в устойчивом цифровом фильтре должны отсутствовать полюсы системной функции в области комплексной переменной z, которая удовлетворяет неравенству

Следовательно, если полюсы существуют, то в устойчивом фильтре они должны располагаться в области комплексной переменной z, для которой выполняется условие

Цифровой фильтр устойчив, если полюсы системной функции располагаются внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат .

Пример 1:

На рисунке 1 дано графическое представление алгоритма функционирования цифрового фильтра. Коэффициенты системной функции равны: A = 0.5 ,

B = -1, C = -1.4.

Сделайте заключение об устойчивости фильтра

Рисунок 1

1. Из рисунка видно, что

Из первого уравнения

Подставим V(z) во второе уравнение

Из последнего соотношения получим

Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением

Определим полюсы системной функции. Приравняв знаменатель системной функции к нулю, получим квадратное уравнение для определения ее полюсов

Подставляя в него значения A, B и C, получим

.

Корни уравнения равны

.

Следовательно, фильтр устойчив.

Пример 2:

Сделайте обоснованное заключение об устойчивости цифрового фильтра рисунка 1, если A₁₁ = 0.1, A₂₁= 0.9, A₁₂ = - 0.1, A₂₂ =1.1.

Цифровой фильтр выполнен в виде последовательного соединения двух звеньев второго порядка.

Системная функция фильтра определяется соотношением

,

где

.

Проверяем устойчивость каждого звена.

Звено №1

или

.

Следовательно, первое звено устойчиво.

Звено №2

или

.

Следовательно, второе звено не устойчиво.

Вывод: фильтр не устойчив.

2.10. Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка

Системная функция звена второго порядка определяется соотношением

.

Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при

. (*)

В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением

.

Из последнего соотношения находим

.

Условием устойчивости звена является

.

Поэтому коэффициент A₂ устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию

Из последнего неравенства и неравенства (*) следует

3. Преобразование Фурье

3.1.Прямое дискретное преобразование Фурье

Прямое и обратное преобразования Фурье аналогового сигнала определяются следующими соотношениями

Дискретный сигнал и последовательность дельта – функций. Длительность сигнала - T_c = T_Д N,

Воспользовавшись последовательностью -функций, представим дискретный сигнал x_n как аналоговый

Тогда

Зададимся шагом W изменения частоты w = k W , где k - целое число.

Учитывая, что T_Д = T_c / N , получим

W T_Д = 2 p F T_c / N.

Примем F T_c = 1.

Введем обозначение:

Тогда

Поэтому S_k представляет собой периодическую функцию с периодом N. Поэтому k = 0,1,2,.. N-1.

3.2. Обратное дискретное преобразование Фурье

По аналогии с формулами прямого и обратного преобразования Фурье для аналогового сигнала, и учитывая выражение для S_k , сконструируем формулу для обратного дискретного преобразования Фурье

Для определения константы a подставим в последнее соотношение выражение для S_k, предварительно заменив в нем индекс суммирования n на m

.

При m = n

При m ¹ n

В результате получим

.

Следовательно,

Таким образом,

при n = 0, 1, ..N-1.

Для определения всех N отсчетов спектра или N отсчетов временной функции требуется выполнить комплексных умножений и столько же комплексных сложений.

При N больше 1000 это прямое вычисление требует больших затрат машинного времени. Поэтому возникла необходимость в разработке алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).

3.3. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием во времени

Рассмотрим последовательность x_n, содержащую отсчетов, где M - целое число, Разобьем члены этой последовательности на две группы.

Индексы членов последовательностей x_n и x1_m связаны соотношением n = 2m,

а индексы членов последовательностей x_n и x2_m - соотношением n = 2m + 1.

Тогда выражение для прямого ДПФ можно представить в виде

Учитывая, что

,

получим

Обозначим

где

.

Учтем, что,

Поэтому

Графическое представление вычислительных операций приведено на рисунке.

Стрелочками представлены множители

.

Отсчеты S₀ , S₁ , S₂, S₃ получаются с использованием операции сложения, поэтому около них стоит знак “ + “, отсчеты S₄ , S₅ , S₆ , S₇ находятся после выполнения операции вычитания и около них поставлен знак “ - “.

Подсчитаем количество операций умножения, которые нужно выполнить, используя алгоритм БПФ.

На каждом шаге разбиения выполняется N / 2 умножений, количество шагов равно M = log ₂ N.

Следовательно, количество умножений равно (N / 2) log₂ N вместо N² при ДПФ.

Величина выигрыша при переходе от ДПФ к БПФ увеличивается с увеличением количества отсчетов N.