АНАЛОГИ ШВИДКОСТЕЙ І ПРИСКОРЕНЬ

Отже, дійсна кутова швидкість w_k дорівнює добутку кутової швидкості початкової ланки на аналог кутової швидкості ланки к.

Диференціюючи рівняння (2) за часом t маємо величину кутового прискорення ланки к:

(3)

де - аналог (передатна функція) кутового прискорення.

Аналогічно можуть бути отримані рівняння для швидкості і прискорення якої-небудь точки ланки k.

Нехай r_m є радіус-вектор, який визначає положення точки m. Тоді швидкість точки m

, (4)

де, - аналог швидкості точки m (має розмірність ­одиниць довжини).

Таким чином, дійсна швидкість точки m дорівнює добутку кутової швидкості початкової ланки на аналог швидкості точки m.

Диференціюючи вираз (4) за часом маємо величину прискорення а точки m:

де, - аналог прискорення точки m (має розмірність одиниці довжини). Рух початкової ланки механізму при a = const називається перманентним чи основним рухом механізму. При цьому = 0, тоді: ; (10)

; (11)

; (12)

. (13)

Якщо в рівностях (2 - 5) прийняти кутову швидкість ω =0, то кутові і лінійні швидкості ланок також дорівнюють нулю, а кутові і лінійні прискорення визначаємо за формулами:

(14)

(15)

Рух ланки, описаний рівняннями (10), (11) називається початковим.

2. АНАЛІТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ КІНЕМАТИКИ ЧОТИРИЛАНКОВОГО МЕХАНІЗМУ З ДВОПОВОДКОВОЮ СТРУКТУРНОЮ ГРУПОЮ II КЛАСУ 2 ПОРЯДКУ 1 ВИДУ

Розглянемо схему кривошипно-коромислового механізму.

Механізм може мати 2 схеми зібрання (рис.1, а, б) і утворюється вхідною ланкою АВ і структурною групою першого виду з трьома обертальними кінематичними парами В,С,D.

Рівняння замкненого векторного контуру, що утворений ланками механізму, має такий вигляд:

. (16)

Проектуючи рівняння (4.1) на осі нерухомої системи координат ОХУ і враховуючи, що , маємо:

; (17)

.

Рис.4.1 Схема кривошипно-коромислового механізму.

Координати точки В:

; (18)

. (19)

Задачу визначення положень механізму розв’язуємо поділом замкненого контуру АВСD на 2 трикутники: Δ АВD і Δ ВСD.

Розглянемо ΔАВD і ΔВСD для яких будуть справедливими такі залежності:

;

;

a₁=(20)

;

;

;

S = (21)

Напівпериметр Δ ВСD:

. (22)

Радіус кола вписаного в Δ ВСD:

. (23)

Допоміжний кут:

.

Кутова координата ланки DС:

, для схеми (рис. 4.1 а); (24)

, для схеми (рис. 4.1 б), (25)

тоді координати точки С:

; (26)

. (27)

Кут φ ₂ визначаємо через координати точок С і В:

(сх. 1);

(сх. 1,2);

φ₂ = (сх. 2); (28)

(сх. 2);

(сх. 2).

Для визначення аналогів швидкостей продиференціюємо систему (17) по узагальненій координаті φ_1:

; (29)

.

Позначимо: ,

де, - аналоги кутових швидкостей відповідно 2 і 3 ланок, тоді систему (4.14) запишемо у такому вигляді:

; (30)

. (31)

Від кутів, які входять у рівняння (4.15) віднімаємо спільний кут φ₂ , що рівнозначно повороту системи координат ХАY на кут φ₂:

, (32)

звідки:

. (33)

Після аналогічного перетворення рівняння (30) поворотом координатних осей на кут φ₃ маємо:

, (34)

звідки:

. (35)

Для аналогів кутової швидкості можна записати:

; (36)

, (37)

тоді кутові швидкості другої і третьої ланок:

; (38)

. (39)

Лінійні швидкості точок:

; (40)

. (41)

Для визначення кутових прискорень ланок 2 і 3 диференціюємо систему (30-31) по узагальненій координаті φ₁:

; (42)

, (43)

де - аналоги кутових прискорень, які визначимо, якщо виконати перетворення координат послідовним поворотом їх осей на кути -φ_2, -φ₃.

(44)

. (45)

Кутові прискорення ланок:

; (46)

, (47)

де - задані кутова швидкість і кутове прискорення початкової ланки .

Прискорення точки С визначимо за формулою:

. (48)

3. ЧОТИРИЛАНКОВИЙ МЕХАНІЗМ З ДВОПОВОДКОВОЮ СТРУКТУРНОЮ ГРУПОЮ ДРУГОГО ВИДУ( КРИВОШИПНО-ПОВЗУННИЙ МЕХАНІЗМ)

Механізм (рис. 9.3.).складається з початкової ланки 1 (кривошип) і двоповoдкової структурної групи 2 виду, яка включає ланки 2 (шатун) і 3 (повзун).

Рівняння замкненого векторного контуру механізму:

. (49)

Проектуючи рівняння (4.34) на осі координат, отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:

; (50)

.

Рис. 9.3. Схема кривошипно-повзунного механізму.

Кути φ₁ вимірюються від позитивного напрямку осі АХ до позитивного напрямку відповідного вектора проти годинникової стрілки.

Для схеми (рис. 4.3,а) φ₃ = 90º,φ₄ = 180º; для схеми (рис. 4.3,б) φ₃ = 270º,

φ₄ = 180º, тоді система рівнянь (51) матиме вигляд:

;

. (51)

Координати точки В:

; (52)

.

Для визначення координат точки С попередньо запишемо значення кута φ₂:

, (53)

тоді:

; (54)

.

Для визначення швидкостей, кутової ланки 2, та лінійної точки С диференціюємо систему рівнянь (51) по узагальненій координаті φ₁:

; (55)

.

Позначимо: ,

де - аналоги кутової та лінійної швидкостей відповідно 2 та 3 ланок. Тоді система (55) матиме вигляд:

; (56)

. (57)

З рівняння (57) визначаємо:

, (58)

а з рівняння (56):

. (59)

Аналогічно залежностям (36, 37) маємо:

; (60)

.

Тоді кутова швидкість другої ланки

. (61)

Лінійна швидкість точки С третьої ланки:

. (62)

Для визначення лінійного прискорення точки С і кутового прискорення другої ланки продиференціюємо рівняння (56, 57) по узагальненій координаті φ₁:

(63)

Позначимо і перепишемо систему (4.48):

; (64)

(65)

З рівняння (4.50) визначаємо :

, (66)

. (67)

Аналогічно залежностям (4.31, 4.33) кутове прискорення другої ланки:

. (68)

Лінійне прискорення точки С другої ланки:

. (69)

4. КУЛІСНИЙ МЕХАНІЗМ

Кулісний механізм (рис. 4.5) складається з вхідної ланки 1, яка утворює обертальну кінематичну пару з кулісним каменем 2. Кулісний камінь утворює поступальну кінематичну пару з кулісою 3. Вхідна ланка 1 і куліса 3 з’єднані зі стояком обертальними кінематичними парами А, С.

Розглянемо кулісний механізм у вигляді замкненого векторного контуру АВС, вектори якого утворені ланками 1, 2, 3.

Рівняння замкненого векторного контуру:

. (70)

Cпроектувавши рівняння (4.55) на координатні осі YСХ, одержуємо систему алгебраїчних рівнянь:

; (71)

. (72)

Для визначення напрямного кута φ₃ розділимо рівняння (72) на (71), тоді маємо:

. (73)

Визначимо довжину третьої ланки (куліси):

. (74)

Для визначення швидкостей ланок механізму диференціюємо систему (71-72) по узагальненій координаті φ₁:

; (75)

. (76)

Позначимо ,

де - аналог швидкості точки B₃ відносно В₂;

- аналог кутової швидкості ланки 3.

Рис. 4.5. Схема кулісного механізму.

Для визначення аналогів швидкостей від кутів, які входять в рівняння (75, 76) віднімаємо кут φ₃, що еквівалентно повороту системи координат на такий самий кут:

;

.

Аналогічно залежностям (62, 63) маємо:

(77)

(78)

Для визначення аналогів кутових і лінійних прискорень ланок і точок механізму рівняння (75, 76), з урахуванням прийнятих позначень, диференціюємо по узагальненій координаті φ₁:

(79)

(80)

де, - аналог кутового прискорення ланки 3;

- аналог лінійного прискорення точки B₃ відносно B_2.

Віднімаємо від кутів, які входять в рівняння (79, 80) загальний кут φ₃:

; (81)

, (82)

звідки:

;

.

Аналогічно залежності (69) визначаємо відносне (релятивне) прискорення :

. (83)

Прискорення Коріоліса визначаємо за формулою:

. (84)

Кутове прискорення третьої ланки визначимо з рівняння (82):

. (85)

Тоді лінійне прискорення точки В₃ визначимо аналогічно (48):

(86)