Тертя гнучкої ланки

У техніці широко застосовуються механізми з гнучкими ланками (пасові та канатні передачі, стрічкові гальма та транспортери тощо). У таких механізмах передача руху можлива лише при наявності достатньої сили тертя між гнучкою ланкою і шківом.

Формулу, що зв'язує основні параметри передачі гнучкою ниткою, вивів у 1765 р. Л. Ейлер [1, 4].

Для виведення цієї формули розглянемо ковзання гнучкої нитки по нерухомому шківу (рис. 6.19, а). Тоді кінець гнучкої нитки, який при своєму русі набігатиме на шків, назвемо побіжним кінцем, а той кінець, який збігатиме зі шківа, —збіжним. Дуга аЬ, по довжині якої нитка прилягає до шківа, називається дугою обхвату, а центральний кут а, що їй відповідає, — кутом обхвату. Нехай натяг набіжного кінця буде /J, а збіжного Р₂. Знайдемо зв'язок між цими натягами. При цьому зробимо такі спрощення. Вважатимемо, що нитка не розтягується і не чинить опору згину при набіганні і збіганні нитки. Далі припустимо, що нитка рухається зі сталою швидкістю н. Масою нитки та її відцентровими силами інерції знехтуємо.

Щоб надати гнучкій ланці рівномірного руху в бік сили F₂, необхідно подолати не тільки опір сили /є, але й силу тертя F_f між ниткою і шківом, тобто

звідки

Отже, при а це значить, що при пере-

ході від точки а до точки Ь, де нитка набігає і збігає зі шківа, сила тертя постійно збільшується від fi до F₂. Для встановлення залежності між цими величинами виділимо на дузі обхвату

нескінченно малий елемент нитки Якщо на початку

цього елемента — в точці с — натяг має деяке значення F, то в

кінці його, як вказано раніше, він збільшується на df і дорівнюватиме F+ dF. Нерівномірність натягу зумовлюється наявністю сил тертя між елементом нитки і шківом. Лінії дії сил F і F + dF будуть дотичними до шківа і перпендикулярними до радіусів, проведених з точки О в точки дотику с і d.

Елементарна сила тертя dF_f згідно з рівнянням (6.48) має вигляд

Згідно з формулою Амонтона—Кулона, сила тертя визна­чається за формулою

де dp — елементарна сила тиску елемента ds на шків; /— ко­ефіцієнт тертя.

Із співвідношення (6.49) і (6.50) випливає

Позначивши через da. кут, який стягується дугою cd, знахо­димо суму проекцій сил, прикладених до елемента cd, на радіус, проведений через середину дуги cd. У результаті дістанемо

Нехтуючи нескінченно малими величинами другого порядку і враховуючи, що для малих кутів одер-

жуємо

dp = Fda. (6.52)

Підставивши знайдене значення для сили dp в рівняння (6.51), дістанемо

звідки, розділивши змінні, запишемо

Інтегруючи ліву і праву частини цього рівняння, дістаємо

Потенціюючи цей вираз, одержуємо відому формулу Ейлера,

з якої випливає, що сила натягу зростає із зростанням кута обхвату α і коефіцієнта тертя f/ Легко побачити, що при сталому коефіцієнті тертя збільшення кута обхвату дає дуже швидке зростання сили F₂.

Підставивши в рівняння (6.48) значення F₂ (6.56), дістанемо для сили тертя вираз

Сила F_f є тією найбільшою коловою силою, яку можна передати шківу. Якщо коловий опір на веденому шківі дорівнює або менший від сили F_f, то гнучка нитка змусить шків обертатися. Коли ж коловий опір більший від сили Ff, то гнучка ланка ковзатиме по шківу, не обертаючи його. Таким чином, натягнена силами F₁ і F₂ гнучка ланка при F₂ > F₁ може передавати веденому шківу обертовий момент

де R — радіус шківа.

Формула Ейлера дає тільки наближений зв'язок між натяга­ми гілок гнучкої ланки. Тому останнім часом у технічній літературі рекомендуються також і інші методи розрахунку, які тут не наводяться.

Тертя кочення

Як уже зазначалося, тертям кочення називають опір, який виникає при перекочуванні одного тіла по поверхні іншого.