Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂ у² + 2а₁х + 2а₂у + с = 0, (8)

в котором хотя бы один из коэффициентов а₁₁, а₁₂, а₂₂ отличен от нуля. Выражение

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂ у²

называется квадратичной часть уравнения, 2а₁х + 2а₂у – линейной частью, а с – свободным членом.

Если мы перейдем к новой СК Ox¢y¢, то формулы замены координат будут иметь вид

x = ax¢ + by¢ + b₁,

y = gx¢ + dy¢ + b₂.

Если мы подставим эти выражения в (8), то снова получим уравнение такого же вида, т.е. содержащее x¢ и y¢ во второй степени. Поэтому наше определение корректно, т.е не зависит от выбора СК. В дальнейшем, СК всегда предполагается декартовой.

Определение. Точка O¢ называется центром кривой второго порядка, если она является ее центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной.

Предположим, что СК выбрана так, что ее начало находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой M(x, y) кривой будет принадлежать и точка M¢(– x,– y). Подставим ее координаты в (7) и получим

а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂у² – 2а₁х – 2а₂у + с = 0. (8¢)

Вычтем из равенства (8) равенство (8¢):

4(а₁х + а₂ у) = 0.

И это должно выполняться для любой точки M(x, y) на кривой. Поэтому а₁ = а₂ = 0, если начало координат находится в центре. Поэтому, если изначально начало координат не находится в центре O¢, то мы совершим параллельный перенос координатных осей в центр, и уравнение кривой в новой СК O¢х¢у¢ примет вид

а₁₁х¢² + 2а₁₂ х¢у¢ + а₂₂у¢² + с¢ = 0, (9)

т.е. линейная часть уравнения исчезнет. При этом, коэффициенты квадратичной части останутся прежними; это будет установлено в процессе доказательства следующей теоремы.

Теорема 5. Координаты (x_o, y_o) центра кривой, заданной уравнением (8), находятся из системы линейных уравнений

а₁₁х_o + а₁₂ у_o + а₁ = 0,

а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + а₂ = 0.

Доказательство. Введем новую декартову СК O¢х¢у¢, которая получается из Oху переносом начала в центр O¢(x_o, y_o) кривой. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x = x¢ + х_o,

y = y¢ + у_o.

Подставим эти формулы в (7):

а₁₁(x¢+ х_o)² + 2а₁₂ (x¢+ х_o)( y¢+ y_o) + а₂₂(y¢+ y_o)² +

+ 2а₁(x¢+ х_o) + 2а₂(y¢+ y_o) + с = 0.

После преобразований получаем

а₁₁(x¢)² + 2а₁₂ x¢y¢+ а₂₂(y¢)² + 2(а₁₁х_o+ а₁₂ у_o+ а₁)x¢+

+ 2(а₁₂х_o+ а₂₂ у_o+ а₂)y¢+ с¢= 0,

где с¢ = j(x_o, y_o) – значение левой части уравнения (7) в точке O¢. Поскольку в новой СК коэффициенты при x¢ и y¢ должны быть равны нулю, то получаем (10).

Заметим, что уравнение кривой в новой СК можно выписать, не совершая подстановки (11) и преобразований: коэффициенты квадратичной части не изменяются, надо только вычислить с¢.

Обозначим A = – матрица квадратичной части уравнения (8) (она же является матрицей системы линейных уравнений (10)),

d = det A, d_x = – , d_y = – .

1 случай. d ¹ 0. Тогда по правилу Крамера система (10) имеет единственное решение

x_o= d_x/d, y_o= d_y /d, (*)

а кривая имеет единственный центр. Минусы были поставлены выше потому, что а₁ и а₂ находятся в (10) не в правой части, а в левой.

2 случай. d = 0, d_x¹ 0 и d_y¹ 0 (заметим, что в случае d = 0, определители d_x и d_y будут равны или неравны нулю только одновременно). Тогда ранг расширенной матрицы системы (10) будет равен 2, а rank A=1. Значит, согласно теореме Кронекера-Капелли система (10) не имеет решений, а кривая не имеет центра.

3 случай. d = 0, d_x = d_y = 0. Тогда оба уравнения в (10) пропорциональны, а значит, эта система имеет бесконечное количество решений, а кривая – бесконечное количество центров.

Упростим еще величину с¢:

с¢ = j(x_o, y_o) = а₁₁х_o² + 2а₁₂ х _oу_o + а₂₂ у_o² + 2а₁х_o + 2а₂ у_o + с =

= (а₁₁х_o + а₁₂ у_o + а₁) х_o+ (а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + а₂)у_o + а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + с.

В силу (9) выражения в скобках равны нулю, и мы имеем

с¢ = а₁ х_o + а₂ у_o + с. (12)

Подставляя сюда (*) получаем

с¢ = а₁ + а₂ + с = (а₁d_x + а₂ d_y + с) = , (13)

где

а₁₁ а₁₂ а₁

D = а₁₂ а₂₂ а₂ .

а₁ а₂ с

В скобках как раз стоит разложение D по последней строке или последнему столбцу. Равенство (13) позволяет выписать (9) не находя координат центра кривой. Но, если уже центр найден, то легче вычислить с¢ по формулам (12).

§8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай d ¹ 0).

Попробуем дальше упростить уравнение (9). Выберем новую декартову СК O¢x²y², которая получается из O¢x¢y¢ поворотом координатных осей на некоторый угол a . Тогда формулы замены координат имеют вид:

x¢ = x²·cos a – y²·sin a,

y¢ = x²·sin a + y²·cos a.

Подставим эти формулы в (9):

а₁₁(x²·cos a – y²·sin a)² + 2а₁₂(x²·cos a – y²·sin a)(x²·sin a + y²·cos a) +

+ а₂₂(x²·sin a + y²·cos a)² + с¢ = 0,

Раскроем скобки и приведем подобные при одинаковых координатах. Тогда коэффициент x²y² будет равен

– а₁₂sin²a + (а₂₂ – а₁₁)sin a·cos a + а₁₂cos²a

Приравняем это выражение к нулю, и получившееся уравнение разделим на – cos²a :

а₁₂ tg²a + (а₁₁ – а₂₂) tg a + а₁₂ = 0. (15)

Это квадратное уравнение относительно неизвестного tg a, его дискриминант

D = (а₁₁ – а₂₂)² + а₁₂ ³ 0.

Значит, (14) всегда имеет решение, т.е всегда существует такой угол a, что в новой СК мы получим уравнение кривой без слагаемого, содержащего x²y². В результате наше уравнение будет иметь вид

l₁(x²)² + l₂(y²)² + = 0. (16)

Примем пока без доказательства, что коэффициенты l₁ и l₂ являются корнями уравнения

= 0 ;

в развернутом виде:

l²– sl + d = 0, (17)

где s = trace A = а₁₁ – а₂₂ – след матрицы A. Оно называется характеристическим уравнением кривой второго порядка. Согласно теореме Виета получаем

l₁+ l₂ = s , l₁·l₂ = d.

Относительно новой СК O¢x²y² получаем

A¢ = , d¢= det A¢= l₁·l₂ = d, s¢= trace A¢ = l₁+l ₂ = s,

l₁ 0 0

D¢ =0 l₂ 0 = l₁·l₂· (D/d) = D .

0 0 D/d

Таким образом, d¢= d , s¢= s, D¢ = D , т.е. величины d , s, D не изменяются при переходе к новой декартовой СК. Поэтому они называются инвариантами кривой второго порядка.

1 случай: D ¹ 0. Если опустить штрихи, то уравнение (16) можно переписать в виде

+ = 1. (18)

Обозначим a² = |D/l₁d|, b² = |D/l₂d|.

а) d > 0, sD < 0. Тогда l₁·l₂> 0 , т.е. l₁ и l ₂ одного знака, и (l₁+ l ₂)·D < 0, т.е. знак D противоположен знаку l₁ и l ₂. Поэтому оба знаменателя в (17) положительны, и уравнение (15) задает эллипс:

+ = 1 .

б) d > 0, sD > 0. Тогда оба знаменателя в (18) отрицательны, и уравнение имеет вид

+ = –1 .

Говорят, что оно задает мнимый эллипс. На действительной плоскости это пустое множество.

в) d < 0, D ¹ 0. Тогда l₁ и l ₂ имеют разные знаки, и поэтому знаменатели в (17) имеют разные знаки. Получаем уравнение

– = 1 или – = –1.

В любом случае получается уравнение гиперболы.

2 случай: D = 0. В этом случае уравнение (15) принимает вид (штрихи опускаем):

l₁x² + l ₂y² = 0. (19)

Обозначим a² =½l₁½, b² =½l₂½.

а) d < 0. Тогда l₁ и l ₂ разного знака и (18) можно переписать в виде

a²x² – b² y² = 0 Û

Û (ax – b y)·(ax + b y) = 0.

Этому уравнению удовлетворяют точки, для которых ax – by = 0 и точки для которых ax + by = 0 . Поэтому оно определяет пару прямых, очевидно, пересекающихся в центре O¢ и симметричных относительно координатных осей.

б) d > 0. Тогда l₁ и l ₂ имеют одинаковые знаки и (19) можно переписать в виде

a²x²+b²y² = 0 Û (ax – i b y)·(ax + i b y) = 0.

(i – мнимая единица). Говорят, что это уравнение задает пару мнимых пересекающихся прямых. Но пересекаются они в действительной точке O¢ – центре кривой.

В случае d = D = 0 кривая тоже имеет центр (бесконечное количество центров), но этот случай мы рассмотрим в следующем параграфе.

§9. Классификация нецентральных кривых второго порядка (случай d = 0).

Пусть теперь d = 0. Тогда мы не можем использовать процедуру нахождения центра, и сразу совершаем поворот координатных осей на угол, тангенс которого находится из уравнения (14). Получим новую декартову СК с тем же началом Ox¢y¢. Формулы замены координат имеют вид

x = x¢×cos a – y¢×sin a,

y = x¢×sin a + y¢×cos a.

Здесь на один штрих с каждой стороны меньше, чем в (14), поскольку это первая замена координат. В этой СК уравнение кривой не будет включать слагаемое, содержащее произведение x¢y¢:

l₁x¢² + l ₂ y¢² + 2b₁х¢ + 2b₂ у¢ + с = 0, (20)

Заметим, что коэффициент с останется прежним, а непосредственное вычисление показывает, что

b₁= a₁×cos a + a₂×sin a, b₂ = a₁×sin a + a₂×cos a.

Числа l₁ и l ₂ можно найти из уравнения (17). Так как d = l₁·l₂ = 0, то один из корней будет равен нулю. Пусть это будет l₁. Имеем уравнение

l ₂ y¢² + 2b₁х¢ + 2b₂ у¢ + с = 0. (21)

Для этого уравнения

0 0 b₁

D = 0 l₂ b₂ = – l₂b₁².

b₁ b₂ с

1 случай: D = 0 Û b₁= 0. Уравнение имеет вид l ₂ y¢² + 2b₂ у¢ + с = 0. Выделим полный квадрат:

l ₂( y¢ ² + у¢ + ) – + с = 0 Û l ₂( y¢ + )²– + с = 0 .

Обозначим с¢= (b₁²- l ₂с) /l ₂, a² =½ с¢½ и сделаем замену координат:

x²= x¢ ,

y²= y¢ + ,

которая равносильна переносу начала координат в точку O¢(0,– b₁/l₂)_Ox¢y¢(подчеркнем, что координаты указаны в промежуточной СК Ox¢y¢). Получим уравнение

(y²)² = a².

а) с¢ > 0 Þ (y²)² = a², т.е. y² = a или y² =– a . Наша кривая – это пара параллельных прямых.

б) с¢ > 0 Þ (y²)² =– a², т.е. y² = i a или y² =– i a . Говорят, что наше уравнение задает пару мнимых параллельных прямых.

в) с¢ = 0 Þ (y²)² =0. Говорят, что это уравнение задает пару совпадающих прямых.

2 случай: D ¹ 0 Û b₁¹ 0. Так же, как и в предыдущем случае, выделяем в (21) полный квадрат по y:

l ₂²– + 2b₁х¢ + с = 0 ,

а затем преобразуем так:

l ₂²+ 2b₁ = 0 .

Обозначим c¢ = и сделаем замену координат:

x²= х¢ – c¢ ,

y²= y¢ + ,

которая равносильна переносу начала координат в точку O¢_Ox¢y¢. Получим уравнение

l ₂(y²)² + 2b₁х² = 0 Û (y²)² = 2pх²,

где p = – 2b₁/l ₂ . Это уравнение задает параболу.

Итак, мы установили, что общее уравнение кривой второго порядка (8) задает одну из следующих кривых второго порядка (sign x означает знак числа x).