Лекция 15 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЧАСТЬ III

15.1 ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ (Часть III)

15.1.1 Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

15.1.2 Магнитный момент витка с током. Виток с током в однородном и неоднородном магнитных полях

15.2 МАГНИТОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

15.2.1 Гипотеза Ампера. Гиромагнитное отношение

15.2.2 Намагниченность . Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в веществе. Вектор напряжённости магнитного поля . Закон полного тока

15.2.3 Связь векторов , и . Виды магнетиков. Парамагнетизм

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

15 ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ (Часть III)

15.1.1 Работа по перемещению проводника с током

в магнитном поле

Сила Ампера, действующая в магнитном поле с индукцией на проводник длиной l, по которому идёт ток I, может привести его в движение и совершить при этом работу:

dA = ( ) = Fdr×cosj = Fdr = = IlB×sina×dr,

где a – угол между вектором (его направление совпадает с направлением движения положительных зарядов в проводнике) и вектором магнитной индукции (рис. 15.1). Поскольку проводник движется под действием силы Ампера , угол j между вектором перемещения и самой силой везде равен нулю; это означает, что косинус угла между этими векторами, входящий в виде сомножителя в скалярное произведение , равен единице.

С учётом того, что площадь, «заметаемая» проводником в процессе движения, вычисляется, как dS = l×dr, и того, что sina = cosb, выражение для расчёта работы силы Ампера можно переписать в виде

dA = IlB×sina×dr = IBdScosb.

Но, согласно определению магнитного потока, F_М = , или dF_М = , следовательно, dA = I dF_М. Таким образом, работу по перемещению проводника с током в магнитном поле можно рассчитать, используя формулу

A = I×DF_М. (15.1)

Здесь DF_М – магнитный поток через поверхность, заметаемую проводником с постоянным током I в процессе движения.

Данная формула справедлива и в случаях, когда проводник движется не поступательно, а разворачивается в магнитном поле, при деформации, а также при переносе в область с другим значением магнитной индукции любого замкнутого контура с током I.

В заключение отметим: формула (15.1) позволяет легко выразить единицу измерения магнитного потока (вебер) через основные единицы СИ: 1 Вб = 1 Дж×А^-1 = 1 кг×м²×с^-2×А^-1.

15.1.2 Магнитный момент витка с током.

Виток с током в однородном и неоднородном магнитных полях

Сила, действующая на прямой проводник с током в однородном магнитном поле, заставляет двигаться его поступательно. Картина меняется, если проводник имеет форму замкнутого витка, например, – прямоугольной рамки. Рассмотрим, что происходит в этом случае.

Пусть прямоугольная проводящая рамка, по которой идёт ток, расположена в однородном магнитном поле так, что нормаль к её поверхности составляет некоторый угол a с силовыми линиями. На каждый из участков рамки действует своя сила, причём направления этих сил – разные (сказанное поясняется рисунками 15.2.а), на котором изображена рамка с током в магнитном поле, и
15.2.б), где представлен вид сверху этой же рамки).

Используя правило левой руки, можно определить направления этих сил и убедиться в том, что при данной ориентации рамки в пространстве они стремятся: а) развернуть рамку так, чтобы угол a стал равен нулю, и б) в итоге растянуть рамку.

Пусть теперь поле, в котором находится рамка, неоднородно. Увеличение индукции магнитного поля графически отображается, в виде сгущения силовых линий (на рис. 15.3.а) и 15.3.б) такое сгущение соответствует правой части рисунка). Силы, действующие на разные участки рамки, теперь не только направлены в разные стороны, но и не одинаковы по величине. Нетрудно заметить, однако, что и в этом случае они стремятся развернуть рамку так, чтобы нормаль к её поверхности (выбираемая по правилу винта в соответствии с током в рамке) оказалась направлена вдоль силовой линии.

Развернувшаяся рамка не останется на месте: действующие на неё силы (на рис. 15.3.б) это силы и ) имеют не только компоненты и , стремящиеся растянуть рамку, но и компо
ненты и , которые втягивают рамку с током в область сильного магнитного поля.

Для описания поведения витка произвольной формы удобно использовать следующее определение.

Магнитным моментом витка с током I будем называть выражение вида

= I = IS . (15.2)

Здесь – псевдовектор, характеризующий поверхность, мысленно натянутую на виток: = S , где S – площадь этой поверхности, а – единичный вектор нормали к данной поверхности, причём его направление по правилу винта согласовано с направлением протекания тока по витку.

Нетрудно заметить: при помещении витка с током в магнитное поле он стремится развернуться так, чтобы его магнитный момент был ориентирован вдоль силовой линии, втягиваясь в область сильного поля. Ситуация подобна той, которую мы описывали в случае электрического поля, так же вёл себя диполь с электрическим дипольным моментом : этот вектор тоже стремился выстроиться по направлению силовых линий, а сам диполь – втянуться в область с большей напряженностью поля.

Ещё одно замечание: направление вектора совпадает с направлением вектора магнитной индукции поля, создаваемого на оси витка самим током, идущим по этому витку.

В однородном поле (рис. 15.2) развернуть рамку стремятся силы и , моменты которых направлены в одну сторону (вверх), поэтому для суммарного момента этих сил можно записать:

÷ ê = F₂ sina + F₄ sina = B×I×l× sina + B×I×l× sina = B×I×(bl) sina =

= B×I×S×sina = B×p_m×sina = ½[ ]½.

Очевидно, что момент пары сил максимален (M = M_max), когда угол a между векторами и равен 90º. В этом случае

B = = .

Это соотношение может быть использовано для определения величины вектора индукции магнитного поля.

Явление поворота витка в магнитном поле лежит в основе работы электродвигателей постоянного и переменного тока. Дело в том, что если после окончания поворота витка изменить направление силы тока в нём (например, переключением скользящих вместе с витком контактов), то вращение продолжится, поскольку в момент переключения вектор станет антипараллелен вектору . После очередного поворота и переключения контакта направление протекания тока вновь поменяется, и т. д. В реальных моторах одновременно поворачивается не один, а десятки или даже сотни витков, намотанных на общий сердечник; каждый из них снабжён скользящими контактами, обеспечивающими изменение направления протекания тока в нужный момент времени.

15.2 МАГНИТОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

15.2.1 Гипотеза Ампера. Гиромагнитное отношение

По характеру воздействия магнитного поля на различные материалы все их можно разделить на несколько групп, среди которых большую часть составляют парамагнетики, диамагнетики и ферромагнетики[12]. Парамагнетики и диамагнетики очень слабо взаимодействуют с магнитным полем, причём парамагнетики втягиваются в область сильного поля, а диамагнетики, наоборот, выталкиваются из него. На ферромагнетики магнитное поле оказывает сильное влияние, изготовленные из таких материалов объекты притягиваются магнитами и сами могут становиться таковыми.

Для объяснения природы магнитных свойств вещества Ампер выдвинул гипотезу, согласно которой любой материал можно представить в виде совокупности невидимых глазу из-за своих малых размеров кольцевых микротоков. В ненамагниченном состоянии все микротоки (и их магнитные моменты) ориентированы хаотически, а поскольку совпадает по направлению с вектором индукции магнитного поля, создаваемого самим витком на его оси, магнитное поле внутри образца отсутствует вовсе (рис. 15.4.а). При внесении образца в магнитное поле микротоки начинают поворачиваться (рис. 15.4.б), и хотя тепловое движение и взаимодействие токов друг с другом мешают развороту, тем не менее, с увеличением индукции внешнего магнитного поля упорядоченная ориентация микротоков становится всё более явно выраженной (рис. 15.4.в). Общее магнитное поле в веществе является теперь суперпозицией внешнего поля и суммарного поля всех микротоков, что и накладывает свой отпечаток на поведение в магнитном поле всего образца в целом.

Используя данную гипотезу, можно объяснить явление парамагнетизма, однако сама она не может дать ответ основной на вопрос: что это такое – микротоки, какова их физическая природа? Во времена Ампера о строении вещества люди имели ещё весьма смутное представление, но сейчас даже школьник знаком с полуклассической теорией Бора строения атома, и способен предположить, что микротоки можно считать результатом движения по орбитам вокруг ядра электронов, которые входят в состав атома. Каждый электрон, движущийся по своей орбите – это микроток, и если таких электронов не один (как у водорода) а больше, то, сложив векторно магнитные моменты, соответствующие их орбитальному движению, получаем некоторый усреднённый магнитный момент атома в целом.

Воспользовавшись этим представлением, покажем, как должен быть связан магнитный момент электрона, движущегося вокруг ядра по круговой орбите, с его моментом импульса – параметром, характеризующим вращательное движение электрона (см. рис. 15.5).

Напомним: моментом импульса L материальной точки (а электрон можно считать такой точкой) относительно некоторой оси (в нашем случае – оси вращения) называется выражение вида = [ ], причём

L = rp = rmu,

где r – расстояние до оси (у нас – радиус орбиты), p – импульс точки (p = mu, где m – масса электрона, u – его линейная скорость). Направление вектора согласовано с вектором скорости по правилу винта (на рисунке 15.5 вектор направлен вверх).

В свою очередь, интерпретируя движение электрона, как протекание электрического тока (его направление противоположно направлению вращения электрона, частицы, имеющей отрицательный заряд), можно рассчитать магнитный момент получающегося «витка» – круговой орбиты, по которой движется заряд e, совершая один оборот за время T (соответствующий ток I = ):

p_m = IS = pr².

Так как направление вектора согласовано с направлением протекания тока по правилу винта, то на рисунке этот вектор направлен вниз.

Учтём теперь, что u = 2pr/T. Тогда = - pr²× , или

= - . (15.3)

Формула (15.3) носит название орбитального гиромагнитного отношения; знак «минус» в ней говорит о том, что вектор момента импульса и вектор магнитного момента электрона при орбитальном движении направлены в противоположные стороны (то есть проекции этих векторов на любую выделенную осьдолжны иметь разные знаки).

В справедливости соотношения для парамагнитных и диамагнитных материалов можно убедиться на практике; об одном из экспериментов (опыте Штерна - Герлаха) будет рассказано позднее в разделе «Квантовая механика». В случае ферромагнетиков данное отношение (обозначим его p_ms/L_s) не связано с орбитальным движением, и к тому же оно оказывается в два раза больше:

= - . (15.4)

15.2.2 Намагниченность . Теорема о циркуляции вектора

магнитной индукции в веществе. Вектор напряжённости

магнитного поля . Закон полного тока

Принимая гипотезу Ампера, при расчёте индукции магнитного поля в любой среде помимо внешнего поля следует теперь учитывать и поля, создаваемые микротоками, которые соответствуют движению электронов в атомах. Для этого вводится усреднённая характеристика вещества – намагниченность ; величина этого вектора равна отношению суммарного магнитного момента некоторого объёма DV вещества к величине этого объёма (единица измерения в СИ – А×м^-2)[13].

= . (15.5)

В этой формуле N – общее число микротоков в объёме DV. Таким образом, можно сказать, что намагниченность имеет смысл магнитного момента единицы объёма вещества.

Если все направлены в одну сторону,

= n , (15.6)

где n – число микротоков (атомов) в единице объёма (то есть, их концентрация).

Рассмотрим, как учитывается наличие микротоков при применении теоремы о циркуляции вектора . Данная проблема актуальна, поскольку, теперь нам будет нужно складывать не только «макротоки» I_iМАКРО, которые пронизывают натянутую на контур поверхность (в виде отдельных проводников с током или пучков заряженных частиц), но и большое число микротоков I_iМИКРО (электронных орбит атомов), пронизывающих эту же поверхность:

= m₀ + m₀ . (15.7)

Расчёт слагаемого выполняется по схеме, которая была нами опробована при обсуждении формулировки теоремы Гаусса для электрического поля в среде. На рис. 15.6 изображён малый участок контура dl, который, в силу малости, можно считать прямым. Сама поверхность, натянутая на контур, находится слева от этого участка; очевидно, что вклад в сумму микротоков дадут лишь те из них, которые пронизывают эту поверхность лишь один раз. Они сосредоточены в прилежащей к рассматриваемому участку dl области (наклонного цилиндра) объёмом dV = Sdl×cosa. (здесь S – площадь отдельного витка-микротока, a – угол между образующей цилиндра и перпендикуляром к его основанию). Если концентрация микротоков равна n, то всего их в этой области dN₂ = nSdl×cosa штук, и их сумма вычисляется, как

I×dN₂ = I×nSdl×cosa = n×IS×dl×cosa = n×p_m×dl×cosa = Jdl×cosa = ( ).

В приведённых выкладках использовано то, что p_m = IS (формула 15.2) и то, что J = n×p_m (формула 15.6).

Последняя запись позволяет заменить суммирование микротоков в формуле (15.7) на их интегрирование вдоль всего выбираемого контура:

= .

Разделив обе части выражения (15.7) на одну и ту же константу m₀ и объединив интегралы (они берутся по одному и тому же контуру, а, значит, это можно сделать), получаем:

= . (15.8)

Введём обозначение. Комбинация векторов и вида

= (15.9)

называется вектором напряжённости магнитного поля. В СИ напряжённость магнитного поля, как и намагниченность, измеряется в амперах на метр (А×м^-1).

Теперь теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе можно сформулировать следующим образом: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме макротоков, которые пронизывают поверхность, мысленно натянутую на этот контур,

= . (15.10)

Теорему о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля называют также законом полного тока.

15.2.3 Связь векторов , и . Виды магнетиков.

Использованный нами подход для учёта вклада микротоков в создание общего магнитного поля в веществе сходен с тем, который был применён ранее при рассмотрении теоремы Гаусса для электрического поля. Напомним: с целью учёта вклада полей отдельных молекул (электрических диполей) в создание общего электрического поля нами был также введён вспомогательный вектор (вектор электрического смещения), = e₀ + , после чего в формулировке самой теоремы стали фигурировать только свободные (а не связанные с диполями) заряды. Далее мы учли, что = e₀k , где k – диэлектрическая восприимчивость вещества, в результате чего получили: = e₀(1 + k) , или = ee₀ .

Применим подобные рассуждения и в случае магнитного поля.

Поскольку ориентация магнитных моментов отдельных микротоков определяется индукцией внешнего поля (см. рис. 15.4), то и их векторная сумма также зависит от , то есть ~ . Обычно, однако, вектор связывают не с индукцией магнитного поля, а с его напряжённостью , записывая эту связь в виде

= c , (15.11)

при этом коэффициент пропорциональности c называют магнитной восприимчивостью вещества.

Используя соотношение (15.9), можно осуществить следующие выкладки: = = - c , или = m₀(1 + c) . Если теперь ввести обозначение 1 + c = m, то связь векторов и приобретает вид:

= m₀m , (15.12)

где коэффициент m называемся магнитной проницаемостью вещества. Так же, как и диэлектрическая проницаемость e, магнитная проницаемость является безразмерной величиной и зависит от свойств вещества.

Диэлектрическая проницаемость e всегда больше единицы; в отличие от неё магнитная проницаемость m может оказаться меньше единицы. Это связано с тем, что диэлектрическая восприимчивость всегда положительна, в то время как магнитная восприимчивость c оказывается отрицательной у большого числа веществ, относящихся к классу диамагнетиков. Именно по этому параметру и производится классификация магнетиков:

- если ½c½ << 1 и при этом c > 0 (обычно c » 10^-5 - 10^-4), то такие вещества являются парамагнетиками (типичный пример – щелочные металлы), они слабо реагируют на внешнее магнитное поле, втягиваясь в область с повышенной магнитной индукцией;

- если ½c½ << 1, но при этом c < 0 (обычно c » 10^-6 - 10^-5), то такие вещества являются диамагнетиками (типичный пример – инертные газы), они также слабо реагируют на внешнее магнитное поле, но выталкиваются из него;

- магнитная восприимчивость ферромагнетиков не только положительна и весьма велика (c >> 1 и может достигать 10³ - 10⁴), но она, к тому же, не является константой, c = c(H), то есть зависит от напряжённости магнитного поля.

15.2.4 Некоторые примеры

- К диамагнетикам относятся инертные газы, азот, водород, кремний, фосфор, висмут, цинк, медь, золото, серебро, а также многие другие, как органические, так и неорганические, соединения. Человек в магнитном поле ведет себя как диамагнетик.

- Идеальными диамагнетиками являются сверхпроводники, их магнитная восприимчивость c = - 1, то есть внешнее магнитное поле внутри них полностью экранируется.

- Парамагнетиками являются щелочные и щелочно-земельные металлы, некоторые переходные металлы, соли железа, кобальта, никеля, редкоземельных металлов, кислород, окись азота.

- Примеры ферромагнетиков: железо, никель, кобальт, их соединения и сплавы, некоторые сплавы марганца, серебра, алюминия и др. При низких температурах некоторые редкоземельные элементы – гадолиний, тербий, диспрозий, гольмий, эрбий, тулий.

15.2.5 Вопросы для повторения

1. Выведите формулу для расчёта работы по перемещению прямого проводника с током в однородном магнитном поле.

2. Что называется магнитным моментом витка с током? Как ведёт себя виток в однородном и неоднородном магнитных полях?

3. Какой принцип лежит в основе работы электромотора?

4. Что называется намагниченностью вещества ? В каких единицах намагниченность измеряется в СИ?

5. Что называется вектором напряжённости магнитного поля ? В каких единицах напряжённость магнитного поля измеряется в СИ?

6. Сформулируйте закон полного тока. Продемонстрируйте, как, пользуясь этим законом, можно вывести формулу для индукции магнитного поля, создаваемого прямым тонким проводником с током на некотором расстоянии от него.

7. Какие классы магнетиков вам известны? По какому параметру они отличаются друг от друга?