Лекция 8 ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЧАСТЬ II

8.1.2 Потенциал – энергетическая характеристика

электрического поля. Графическое отображение потенциала (эквипотенциальные линии)

С потенциальной энергией заряда тесно связана энергетическая характеристика электрического поля: потенциал j.

Потенциал электрического поля можно отображать графически с помощью эквипотенциальных линий (и поверхностей) – линий, потенциалы во всех точках которых одинаковы. Их особенностями является то, что

– эквипотенциальные линии всегда замкнуты;

– эквипотенциальные поверхности и силовые линии всегда взаимно перпендикулярны.

Примеры картин эквипотенциальных линий приведены на рис. 8.1 и 8.2; силовые линии на этих рисунках проведены пунктиром.

8.1.3 Связь потенциала и напряжённости электрического поля

Если заряд q поместить в электрическое поле и затем отпустить его, то под действием сил поля, он начнёт двигаться и на малом первом участке пути dl вдоль силовой линии эти силы совершат работу

dA = = q₀ = q₀Edl×cos0º = q₀Edl.

Но, поскольку работа сил поля равна убыли потенциальной энергии заряда, можно записать:

dA = -dW_П

(напомним, что в математике знак дифференциала означает бесконечно малое приращение: из нового значения функции мы вычитаем предыдущее; в нашем случае речь идёт об убыли, то есть, наоборот, нужно вычесть последующее значение функции из предыдущего, отсюда возникает знак «минус» перед dW_П).

Из определения потенциала следует, что dW_П = q₀dj, поэтому запишем: dA = q₀Edl = -q₀dj, то есть при перемещении вдоль силовой линии

E = - . (8.7)

Если вектор перемещения разложить по осям координат X, Y, Z (единичные вектора по которым обозначим , , ), связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля может быть представлена в виде

= -gradj, (8.8)

где символ gradj означает вектор вида

gradj = + + .

Соотношения (8.7) и (8.8) позволяют по заданной зависимости E(x, y, z) находить функцию j(x, y, z).

8.1.4 Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Как мы уже отмечали, если хотя бы один из взаимодействующих зарядов нельзя считать точечным, равномерно заряженным шаром или сферой, для вычисления силы электростатического взаимодействия используют силовую характеристику поля – его напряженность в данной точке. Зная напряжённость, мы находим силу ( = q ), действующую на заряд q в этой точке, вычисляем его ускорение, определяем траекторию движения и т. д. Саму напряжённость можно рассчитать, пользуясь принципом суперпозиции, однако в ряде случаев в этих целях удобнее использовать теорему Гаусса.

Введём определение: если каждой точке пространства можно сопоставить некоторый вектор (например, – вектор ), то, выбрав в этом пространстве некоторую поверхность S, можно говорить о потоке вектора через эту поверхность S. Для вычисления потока поверхность S мысленно разбивают на много малых частей dS, каждой из которых сопоставляют вектор , по величине равный площади dS и направленный вдоль вектора нормали к поверхности выбранного участка (во всех случаях – к одной и той же стороне всей поверхности S). По определению потоком вектора через элемент называется скалярное произведение этих векторов: dF_A = ( ) = AdS×cosa, где a – угол между векторами и (см. рис. 8.3.а). Потоком вектора через всю поверхность S (рис. 8.3.б) называется интеграл вида

F_A =

В качестве вектора можно выбрать вектор силы (для описания поля сил), скорости (для описания движения частиц в струе жидкости), индукции магнитного поля и т. д. В теореме Гаусса для электрического поля в вакууме говорится о потоке F_E вектора напряженности электрического поля , при этом поток считается не через обычную поверхность, а через замкнутую, то есть разделяющую пространство таким образом, что проникнуть из одной его части в другую, не пронзив эту поверхность, невозможно.

Сформулируем теорему.

= . (8.9)

Заметим: формула не является альтернативой тексту теоремы, поскольку из (8.9) не следует, что замкнутая поверхность может иметь любую форму (в том числе – такую, которая нам удобна для проведения вычислений); кроме того, глядя на выражение (8.9) невозможно сказать, о каких зарядах q_i идёт речь (учитываются только те, которые охватываются выбранной поверхностью!).

Вывод формул для напряжённости электрического поля с помощью теоремы Гаусса особенно прост в случаях полей, создаваемых симметричными заряженными объектами. Для вывода формул необходимо:

– Начертить рисунок с изображением заряженного тела и силовых линий создаваемого им электрического поля.

– Указать на рисунке точку, в которой мы будем рассчитывать величину напряжённости электрического поля, и провести сквозь эту точку силовую линию.

– Выбрать замкнутую поверхность, форма которой соответствовала бы симметрии задачи; поверхность должна проходить через выбранную точку.

– Посчитать поток вектора напряжённости электрического поля через выбранную поверхность (учитывая взаимную ориентацию отдельных частей поверхности и пронзающих их силовых линий).

– Определить, какой заряд охватывается выбранной поверхностью, после чего применить теорему Гаусса.

8.1.5 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме

а) Поле равномерно заряженной сферы

Рассмотрим сферу радиусом R и зарядом +Q. Она делит пространство на две область: внутри сферы (где зарядов нет) и снаружи от неё. Выражение для напряжённости создаваемого электрического поля получим для каждой из этих областей.

Для области вне сферы: рисуем чертёж, изображаем силовые линии, выбираем точку М, находящуюся на расстоянии r от центра сферы, проводим через неё одну из силовых линий, после чего выбираем замкнутую поверхность, соответствующую симметрии задачи и проходящую через эту точку. Очевидно, такой поверхностью будет сфера, центр которой совпадает с центром сферы, напряжённость электрического поля которой мы рассчитываем (рис. 8.4.а).

Теперь считаем поток вектора через выбранную поверхность, учитывая, что нормаль к её любому участку, например, – с точкой M, совпадает с силовой линией, проходящей через этот участок (угол a, который входит в формулу для потока, везде равен нулю):

F_E = = =

В силу симметрии выбранной поверхности напряжённость электрического поля в любой её точке должна быть одинаковой:

F_E = = .

Но по определению интеграла = S, где S = 4pr² – площадь сферы; таким образом, F_E = 4pr²E.

Применим теорему Гаусса: выбранной поверхностью охватывается весь заряд +Q, поэтому можно записать: 4pr²E = , или, другими словами, напряженность поля вне заряженной сферы

E = . (8.10)

Для любой точки М¢в области, находящейся внутри заряженной сферы, можно выбрать сколь угодно много замкнутых поверхностей, проходящих через эту точку и при этом лежащих внутри заряженной сферы (рис. 8.4.б). По теореме Гаусса, так как ни одна из таких поверхностей не окружает заряд, то для них для всех F_E = 0, независимо от формы. Другими словами, в этом случае º 0 при любом S, а это возможно лишь если интеграл берётся от нуля, то есть внутри заряженной сферы E = 0.

Некоторые примеры

- В физике, как правило, потенциал электрического поля равным нулю выбирается на бесконечности; в электротехнике за нулевой потенциал часто принимают поверхность Земли.

- У живых клеток в покое между внутренним содержимым клетки и наружным раствором существует разность потенциалов порядка 60 – 90 мВ.

- Разность потенциалов между катодом и анодом внутри электронно-лучевой трубки цветного телевизора достигает 25 кВ.

- Разность потенциалов между Землёй и ионосферой составляет 200 – 250 кВ.

Вопросы для повторения

1. Что называется потенциалом электрического поля? В каких единицах она измеряется в СИ? Как отображается графически?

2. Выведите формулу для потенциала электрического поля, создаваемого точечным зарядом.

3. В чём заключается принцип суперпозиции в случае потенциала электрического поля? Ответ поясните рисунком.

4. Запишите формулы, связывающие напряжённость и потенциал электрического поля и поясните смысл входящих в эти формулы величин.

5. Изобразите картины эквипотенциальных линий электростатических полей, создаваемых уединёнными точечными зарядами, близко расположенными разноимёнными зарядами, обкладками плоского электрического конденсатора.

6. Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля; запишите соответствующую формулу и поясните смысл входящих в формулу величин.

7. Продемонстрируйте, как применяется теорема Гаусса для вычисления напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой.