Необходимое условие экстремума
Мордкович: если функция y=f(x)в точке х0 , то в этой точке производная функции равна нулю либо не существует. Теорема не доказывается.
Колмогоров: если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная, то она равна нулю. (Теорема Ферма).
Дано: функция y=f(x), х0 – точка экстремума.
Доказать: f¢ (x) = 0.
Доказательство
Метод: от противного. Пусть Рассмотрим один из противных случаев: f ¢(x)>0. . Для значений х достаточно близких к х0 дробь .
Тогда, если x > x0, то ; если x < x0, то , следовательно, x0 – не является точкой экстремума, что противоречит условию.
Необходимое условие экстремума функции не является достаточным (неверна обратная теорема).
Пример. Функция , однако, 0 не является точкой экстремума (см. рис.2).
Достаточное условие экстремума.
Теорема (Мордкович):
Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:
1) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при выполняется неравенство f¢ (x) < 0, а при выполняется неравенство
f¢ (x) >0, то х0 – точка минимума функции y = f(x);
2) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при выполняется неравенство f¢ (x) > 0, а при х0 выполняется неравенство
f¢ (x) < 0, то х0 – точка максимума функции y = f(x);
3) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет.
Истинность этих утверждений становится понятной в связи с монотонность данной функции в окрестности точки х0.
Учащихся следует убедить в важности условия непрерывности функции в точке х0.
На рис. 12 точка – 1 не является точкой минимума, а точка 2 – точкой максимума. Если бы вырезать чёрные точки да заклеить ими белые, то функции стали бы непрерывными в точках – 1 и 2, тогда бы эти точки были точками экстремума.
Полезно предложить учащимся алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
1. Найти производную функции.
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Исследовать знак производной в окрестности этих точек.
4. Сделать выводы.
Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
1.
2.
х | (-¥;-2) | -2 | (-2; 2) | (2;+¥) | |
f¢ (x) | - | + | - | ||
f (x) | ↓ | min | ↑ | max | ↓ |
-11 |
3.
4. - точка минимума, ,
- точка максимума, .
Функция убывает на каждом из промежутков (-¥; -2), (2 ;+¥), функция возрастает при хÎ(-2; 2).
Чертежи к лекции
Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 3183;